01、希腊字母和罗马数字

数学语言中常常用到的。

【-01】24个希腊字母大小写和读音

【-02】7个基本罗马数字

02、常用等式

【-01】小数约算，
$\sqrt{2}=1.414，\sqrt{3}=1.712，\sqrt{5}=2.236；$
$ln{2}=0.693，\ln{3}=1.099，\ln{5}=1.609；$
$e^{-1}=0.368，e^{2}=7.389，e^{3}=20.086；$
【-02】自然数的连续平方累加、立方累加，
$\sum_{k=1}^{m}k^2=m(m+1)(2m+1)/6，\sum_{k=1}^{m}k^3=[m(m+1)/2]^2。$
【-03】高次方之差的因式分解，
$a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)(a^{n}+a^{n-1}b+\cdots+ab^{n-1}+b^n)。$
$a^{n+1}-b^{n+1}=(a+b)(a^{n}-a^{n-1}b+\cdots+ab^{n-1}-b^n)，n为奇数。$
$a^{n+1}+b^{n+1}=(a+b)(a^{n}-a^{n-1}b+\cdots-ab^{n-1}+b^n)，n为偶数。$
方程$x^3-1=0$的解是$x_1=1，x_2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i，x_3=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i。$
方程$(x-1)^3=0$的解是$x_1=x_2=x_3=1。$
【-04】幂指数函数，$\lim_{x\to{0+}}{x^x}=1，\lim_{x\to+{\infty}}{x^{1/x}}=1，$
再取对数，$\lim_{x\to{0+}}{xlnx}=0，\lim_{x\to+{\infty}}{\frac{1}{x}lnx}=0，$
对数函数是比任意幂函数低阶的无穷小，而指数函数是比任意幂函数都高阶的无穷小，$\lim_{x\to+{\infty}}{xe^{-x}}=0。$
【-05】斯特林公式，阶乘的替换，$n!≈\sqrt{2πn}(n/e)^n$。
【-06】欧拉公式，$e^{iπ}+1=0$，
e=2.71828...是自然对数的底数，$i=\sqrt{-1}$为虚数单位。
$e^{iθ}=\cos{θ}+i\sin{θ}$。

03、递推数列

【-01】数列{$a_n$}由推导式$a_{n+1}=f(a_n)$，$a_n\in$区间I，n为正整数，得来，
若对应函数$f(x)$在区间I上单增，则{$a_n$}具有单调性，$a_1>a_2$增，$a_1<a_2$减，
若$f(x)$在区间I上单减则{$a_n$}不具备单调性。
【-02】斐波那契数列，本质上是一个二阶常系数齐次线性递归式，
$Fib(n+2)=Fib(n+1)+Fib(n)，Fib(1)=Fib(2)=1，$
$Fib(n)=[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n]/\sqrt{5}$。
通用求解方法如下，

$$ \begin{align} &\texttt{设二阶常系数齐次线性递推公式为：} \\ &\quad{}aE_{(n+2)}+bE_{(n+1)}+cE_{(n)}=0， \\ &\texttt{有特征方程：} \\ &\quad{}aλ^2+bλ+c=0,\ λ=λ_1\ or\ λ_2， \\ &\texttt{通项公式长这样：} \\ &\quad{}\texttt{当 λ1,λ2 为两个不同的实数时，}E_{(n)}=C_{1}λ_1^n+C_{2}λ_2^n； \\ &\quad{}\texttt{当 λ1,λ2 为两个相同的实数时，}E_{(n)}=(C_{1}+C_{2}n)λ^n；\\ &\quad{}\texttt{当 λ1,λ2 为一对共轭复数时，}λ_{1,2}=α\pm{}βi,E_{(n)}=α^{n}(C_{1}\cos{(βn)}+C_{2}\sin{(βn)})； \\ &\texttt{C1,C2由E(1),E(2)来确定。} \\ &\texttt{与解二阶常系数齐次线性微分方程很像，对不对？} \\ \end{align} $$

04、三角函数与反三角函数

(1) $\sin{α}+\sin{β}=2\sin(\frac{α+β}{2})\cos(\frac{α-β}{2})$。
(2) $\sin{φ}\cos{ψ}=\frac{1}{2}[\sin(φ+ψ)+\sin(φ-ψ)]$。
   和差化积与积化和差，
(3) $\sec{θ}=1/\cos{θ},\ \cot{θ}=1/\csc{θ}$。
(4) $\tan^2{θ}+1=\sec^2{θ},\ \cot^2{θ}+1=\csc^2{θ}$。
(5) $arcsin{θ}+arccos{θ}=\pi/2$。
(6) $arctan{θ}+arccot{θ}=\pi/2,\ arccot(1/θ)=arctan{θ}$。
   $arccot$又写作$\cot^{-1}$，
(7) $\sin{θ}=\frac{2\tan(θ/2)}{1+\tan^2(θ/2)}，\cos{θ}=\frac{1-\tan^2(θ/2)}{1+\tan^2(θ/2)}。$
   万能的tan(x/2)的代换。

图象

05、双曲函数与反双曲函数

(1) $\cosh：y=\frac{1}{2}(e^{x}+e^{-x})$。
(2) $\sinh：y=\frac{1}{2}(e^{x}-e^{-x})$。
(3) $arcosh：x=ln|y+\sqrt{y^2-1}|$。
(4) $arsinh：x=ln|y+\sqrt{y^2+1}$。

图象

06 柯西—布尼亚—施瓦茨不等式

(1) 常见式：$(a^2+b^2)\geq(ac+bd)^2$。
(1) 向量式：$|\vec{a}|·|\vec{b}|\geq|\vec{a}·\vec{b}|$。
(1) 三角式：$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\geq\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}$。
(1) 定各分形式：$[\int_{a}^{b}f(x)g(x)\mathbb{d}x]^2\leq\int_{a}^{b}[f(x)]^2\mathbb{d}x·\int_{a}^{b}[g(x)]^2\mathbb{d}x$。
(5) 概率期望形式：$|E(XY)|\leq\sqrt{E(X^2)}\sqrt{E(Y^2)}$。