极限与函数知识点极限与函数知识点极限与函数知识点极限与函数知识点极限与函数知识点极限与函数知识点极限与函数知识点极限与函数知识点极限与函数知识点极限与函数知识点

希腊字母和罗马数字

数学语言中常常用到的。

【01】24个希腊字母大小写和读音

有几个变体希腊字母

【02】7个基本罗马数字

基本初等函数

3个，分别是幂函数、指数函数、对数函数，涵盖了实数、虚数的有限次加减乘除、乘方开方六则运算。

欧拉等式 $𝕖^{𝕚𝜋}+1=0$，得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，1748年发表，

𝕚=$\sqrt{-1}$为虚数单位，𝕖=2.71828...是自然对数的底数，𝜋=3.14159...是圆周率。

虚数指数，$\exp\{𝕚𝜃\}=\cos\{𝜃\}+𝕚\sin\{𝜃\}$，$\exp\{-𝕚𝜃\}=\cos\{𝜃\}-𝕚\sin\{𝜃\}$。

实数指数，$\exp\{𝜐\}=\cosh\{𝜐\}+\sinh\{𝜐\}$，$\exp\{-𝜐\}=\cosh\{𝜐\}-\sinh\{𝜐\}$。

三角函数与双弨函数的定义

三角函数与反三角函数，三角函数又叫圆函数，定义在单位圆上，具有周期性，基于欧拉公式，如下6个三角函数本质是指数函数，

（01）圆余弦$y=\cos{x}=(\exp\{+𝕚x\}+\exp\{-𝕚x\})/2$；实数域$x\inℝ,y\in[-1,+1],周期2𝜋.$

（02）圆正弦$y=\sin{x}=(\exp\{+𝕚x\}-\exp\{-𝕚x\})/2𝕚$；实数域$x\inℝ,y\in[-1,+1],周期2𝜋.$

（03）圆正切$y=\tan{x}=(\exp\{+𝕚x\}-\exp\{-𝕚x\})/[𝕚(\exp\{+𝕚x\}+\exp\{-𝕚x\})]$；实数域$x\in\{x≠𝐤𝜋+𝜋/2,𝐤\inℤ\},y\in(-∞,+∞),周期𝜋.$

（04）圆余切$y=\cot{x}=𝕚(\exp\{+𝕚x\}+\exp\{-𝕚x\})/(\exp\{+𝕚x\}-\exp\{-𝕚x\})$；实数域$x\in\{x≠𝐤𝜋,𝐤\inℤ\},y\in(-∞,+∞),周期𝜋.$

（05）圆正割$y=\sec{x}=1/\cos{x}$；实数域$x\in\{x≠𝐤𝜋+𝜋/2,𝐤\inℤ\},y\in(-∞,-1]\cup[+1,+∞).$

（06）圆余割$y=\csc{x}=1/\sin{x}$；实数域$x\in\{x≠𝐤𝜋+𝜋/2,𝐤\inℤ\},y\in(-∞,-1]\cup[+1,+∞).$

反三角函数本质是对数函数，复数域的对数函数是多值函数，反三角函数也是多值函数，在实数域使用时我们一般限定使其为单值函数，

（01）$x=\arccos{y}=\frac{1}{𝕚}\log\{y±𝕚\sqrt{1-y^2}\}$；实数域$y\in[-1,+1],x\in[0,+𝜋].$

（02）$x=\arcsin{y}=\frac{1}{𝕚}\log\{𝕚y±\sqrt{1-y^2}\}$；实数域$y\in[-1,+1],x\in[-𝜋/2,+𝜋/2].$

（03）$x=\arctan{y}=\frac{1}{2𝕚}\log\{(1+𝕚y)/(1-𝕚y)\}$；实数域$y\inℝ,x\in(-𝜋/2,+𝜋/2).$

（04）$x=\mathrm{arccot}\,{y}=\frac{1}{2𝕚}\log\{(y+𝕚)/(y-𝕚)\}$；实数域$y\inℝ,x\in(0,+𝜋).$

（05）$x=\mathrm{arcsec}\,{y}=\arccos{(1/y)}$；实数域$y\in(-∞,-1]\cup[+1,+∞),x\in[0,+𝜋/2)\cup(+𝜋/2,+𝜋].$

（06）$x=\mathrm{arccsc}\,{y}=\arcsin{(1/y)}$；实数域$y\in(-∞,-1]\cup[+1,+∞),x\in[-𝜋/2,0)\cup(0,+𝜋/2].$

双弨函数，双弨函数又叫拨函数，定义在单位拨上，

（01）拨余弦$y=\cosh{x}=(\exp\{+x\}+\exp\{-x\})/2$；实数域$x\inℝ,y\in[+1,+∞).$

（02）拨正弦$y=\sinh{x}=(\exp\{+x\}-\exp\{-x\})/2$；实数域$x\inℝ,y\in(-∞,+∞).$

（03）拨正切$y=\tanh{x}=(\exp\{+x\}-\exp\{-x\})/(\exp\{+x\}+\exp\{-x\})$；实数域$x\inℝ,y\in(-1,+1).$

（04）拨余切$y=\coth{x}=(\exp\{+x\}+\exp\{-x\})/(\exp\{+x\}-\exp\{-x\})$；实数域$x\in(-∞,0)\cup(0,+∞),y\in(-∞,-1)\cup(+1,+∞).$

（05）拨正割$y=\mathrm{sech}\,{x}=1/\cosh{x}$；实数域$x\inℝ,y\in(0,+1].$

（06）拨余割$y=\mathrm{csch}\,{x}=1/\sinh{x}$；实数域$x\in(-∞,0)\cup(0,+∞),y\in(-∞,0)\cup(0,+∞).$

反双弨函数，在实数域使用时我们一般限定为单值函数，

（01）$x=\mathrm{arcosh}\,{y}=\log\{y±\sqrt{y^2-1}\}$；实数域$x\in[+1,+∞),y\inℝ.$

（02）$x=\mathrm{arsinh}\,{y}=\log\{y±\sqrt{y^2+1}\}$；实数域$x\inℝ,y\in(-∞,+∞).$

（03）$x=\mathrm{artanh}\,{y}=\frac{1}{2}\log\{(1+y)/(1-y)\}$；实数域$x\in(-1,+1),y\in(-∞,+∞).$

（04）$x=\mathrm{arcoth}\,{y}=\frac{1}{2}\log\{(y+1)/(y-1)\}$；实数域$x\in(-∞,-1)\cup(+1,+∞),y\in(-∞,0)\cup(0,+∞).$

（05）$x=\mathrm{arsech}\,{y}=\mathrm{arcosh}\,{(1/y)}$；实数域$x\in(0,+1],y\in[0,+∞).$

（06）$x=\mathrm{arcsch}\,{y}=\mathrm{arsinh}\,{(1/y)}$；实数域$x\in(-∞,0)\cup(0,+∞),y\in(-∞,0)\cup(0,+∞).$

三角函数与双弨函数的等式

$\cos{x}=\cosh{(𝕚x)},𝕚\sin{x}=\sinh{(𝕚x)}.$

$\cosh{x}=\cos{(𝕚x)},𝕚\sinh{x}=\sin{(𝕚x)}.$

$\cos^2{x}+\sin^2{x}=1,\cosh^2{x}-\sinh^2{x}=1.$

$\tan{x}=\sin{x}/\cos{x},\tanh{x}=\sinh{x}/\cosh{x}.$

$\cot{x}=\cos{x}/\sin{x},\coth{x}=\cosh{x}/\sinh{x}.$

⬇️和角公式

$\cos(𝛼+𝛽)=\cos{𝛼}\cos{𝛽}-\sin{𝛼}\sin{𝛽}.$

$\sin(𝛼+𝛽)=\sin{𝛼}\cos{𝛽}+\cos{𝛼}\sin{𝛽}.$

$\cosh(𝛼+𝛽)=\cosh{𝛼}\cosh{𝛽}+\sinh{𝛼}\sinh{𝛽}.$

$\sinh(𝛼+𝛽)=\sinh{𝛼}\cosh{𝛽}+\cosh{𝛼}\sinh{𝛽}.$

⬇️和差化积

$\sin{𝛼}+\sin{𝛽}=2\sin(\frac{𝛼+𝛽}{2})\cos(\frac{𝛼-𝛽}{2}).$

$\sin{𝛼}\cos{𝛽}=\frac{1}{2}[\sin(𝛼+𝛽)+\sin(𝛼-𝛽)].$

$\sinh{𝛼}+\sinh{𝛽}=2\sinh(\frac{𝛼+𝛽}{2})\cosh(\frac{𝛼-𝛽}{2}).$

$\sinh{𝛼}\cosh{𝛽}=\frac{1}{2}[\sinh(𝛼+𝛽)+\sinh(𝛼-𝛽)].$

⬇️半角正切

$\cos{x}={\large\frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}},\sin{x}={\large\frac{2\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}}.$

$\cosh{x}={\large\frac{1+\tanh^2(x/2)}{1-\tanh^2(x/2)}},\sinh{x}={\large\frac{2\tanh^2(x/2)}{1-\tanh^2(x/2)}}.$

⬇️互余角

$\mathrm{arccos}{y}+\mathrm{arcsin}{y}=𝜋/2.$

$\mathrm{arctan}{y}+\mathrm{arccot}{y}=𝜋/2.$

$\mathrm{arccot}{y}=\mathrm{arctan}(1/y)+𝜋,y<0;𝜋/2,y=0;\mathrm{arctan}(1/y),y>0.$

02、常用等式

【01】小数约算，

$\sqrt{2}=1.414$，$\sqrt{3}=1.712$，$\sqrt{5}=2.236$。

$\ln(2)=0.693$，$\ln(3)=1.099$，$\ln(5)=1.609$。

$\exp(-1)=0.368$，$\exp(2)=7.389$，$\exp(3)=20.086$。

【02】自然数的连续平方累加、立方累加，

$\sum_{k=1}^{m}k^2=m(m+1)(2m+1)/6，\sum_{k=1}^{m}k^3=[m(m+1)/2]^2。$

【03】高次方之差的因式分解，

$a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)(a^{n}+a^{n-1}b+\cdots+ab^{n-1}+b^n)$。

$a^{n+1}-b^{n+1}=(a+b)(a^{n}-a^{n-1}b+\cdots+ab^{n-1}-b^n)$，n为奇数。

$a^{n+1}+b^{n+1}=(a+b)(a^{n}-a^{n-1}b+\cdots-ab^{n-1}+b^n)$，n为偶数。

方程$x^3-1=0$的解是$\mathtt{x_1=1,x_2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}𝕚,x_3=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}𝕚}$。

方程$(x-1)^3=0$的解是$\mathtt{x_1=x_2=x_3=1}$。

【04】幂指数函数的极限，

$\lim_{x\to{0+}}{x^x}=1$，$\lim_{x\to+{\infty}}{x^{1/x}}=1$，

再取对数，$\lim_{x\to{0+}}{x\ln{x}}=0$，$\lim_{x\to+{\infty}}{\frac{1}{x}\ln{x}}=0$，

对数函数是比任意幂函数低阶的无穷小，而指数函数是比任意幂函数都高阶的无穷小，$\lim_{x\to+{\infty}}{x𝕖^{-x}}=0$。

【05】虚数单位还能再开平方吗？

可以，复数域是代数闭域，$\sqrt{𝕚}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1+𝕚)$。

03、递推数列

【01】数列{$a_n$}由推导式$a_{n+1}=f(a_n)$，$a_n$在一定的范围[min, max]内，$n$为正整数，得来，
若对应函数$f(x)$在[min, max]上单增，则{$a_n$}具有单调性，$a_1>a_2$增，$a_1<a_2$减，
若$f(x)$在[min, max]上单减则{$a_n$}不具备单调性。

【02】斐波那契数列，本质上是一个二阶常系数齐次线性递归式，
$\mathtt{Fib(n+2)=Fib(n+1)+Fib(n),Fib(1)=Fib(2)=1}$，
$\mathtt{Fib(n)=\big[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n\big]/\sqrt{5}}$。

通用求解方法如下，

$$ \begin{align} &\texttt{设二阶常系数齐次线性递推公式为：} \\ &\quad aE_{(n+2)}+bE_{(n+1)}+cE_{(n)}=0， \\ &\texttt{有特征方程：} \\ &\quad a𝜆^2+b𝜆+c=0， \\ &\texttt{通项公式长这样：} \\ &\quad \texttt{特征方程有两个不同实数解𝐚|𝐛}，E_{(n)}=𝓒_1a^n+𝓒_2b^n； \\ &\quad \texttt{特征方程有两个相同实数解𝛌}，E_{(n)}=(𝓒_1+𝓒_2n)𝜆^n；\\ &\quad \texttt{特征方程有一对共轭复数解𝛂$\pm$𝕚𝛃}，E_{(n)}=𝛼^{n}(𝓒_1\cos{(𝛽n)}+𝓒_2\sin{(𝛽n)})； \\ &\texttt{$𝓒_1,𝓒_2$由$E_{(1)},E_{(2)}$来确定。} \\ \end{align} $$

与解二阶常系数齐次线性微分方程很像，对不对？

04、三角函数与反三角函数

（01）$\sin{𝛼}+\sin{𝛽}=2\sin(\frac{𝛼+𝛽}{2})\cos(\frac{𝛼-𝛽}{2})$。
（02）$\sin{𝜙}\cos{𝜓}=\frac{1}{2}[\sin(𝜙+𝜓)+\sin(𝜙-𝜓)]$。

（01）和差化积与（02）积化和差，

（03）$\sec{𝜃}=1/\cos{𝜃},\ \cot{𝜃}=1/\csc{𝜃}$。
（04）$\tan^2{𝜃}+1=\sec^2{𝜃},\ \cot^2{𝜃}+1=\csc^2{𝜃}$。

（05）$\mathtt{arcsin}{𝜛}+\mathtt{arccos}{𝜛}=𝜋/2$。
（06）$\mathtt{arctan}{𝜛}+\mathtt{arccot}{𝜛}=𝜋/2$。
（06）$\mathtt{arccot}(1/𝜛)=\mathtt{arctan}{𝜛}$。

（06）$arccot$又写作$\cot^{-1}$。

（07）$\sin{𝜃}={\Large\frac{2\tan(𝜃/2)}{1+\tan^2(𝜃/2)}}$。
（07）$\cos{𝜃}={\Large\frac{1-\tan^2(𝜃/2)}{1+\tan^2(𝜃/2)}}$。

（07）的①②就是万能的$\tan(𝜃/2)$的代换。

【02】欧拉公式，

得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉而，1748年发表。
$𝕖^{𝕚𝜋}+1=0$，𝕚=$\sqrt{-1}$为虚数单位，
𝕖=2.71828...是自然对数的底数，𝜋=3.14159...是圆周率。

一般地，$𝕖^{𝕚𝜃}=\cos{𝜃}+𝕚\sin{𝜃}$，$𝕖^{-𝕚𝜃}=\cos{𝜃}-𝕚\sin{𝜃}$，

$\cos{𝜃}=(𝕖^{𝕚𝜃}+𝕖^{-𝕚𝜃})/2=\cosh{(𝕚𝜃)}$，$\sin{𝜃}=(𝕖^{𝕚𝜃}-𝕖^{-𝕚𝜃})/2𝕚=\sinh{(𝕚𝜃)}/𝕚$。

【03】图象

05、双曲函数与反双曲函数

（01）$\cosh: y=(𝕖^{x}+𝕖^{-x})/2$。
（02）$\sinh: y=(𝕖^{x}-𝕖^{-x})/2$。
（03）$\tanh: y=(𝕖^{x}-𝕖^{-x})/(𝕖^{x}+𝕖^{-x})$。

（04）$\mathtt{arcosh}: x=\ln|y+\sqrt{y^2-1}|$。
（05）$\mathtt{arsinh}: x=\ln|y+\sqrt{y^2+1}|$。
（06）$\mathtt{artanh}: x=\frac{1}{2}\ln|\frac{1+y}{1-y}|$。

【02】导函数，

（01）$\cosh{x}\rightarrow\sinh{x}$。
（02）$\sinh{x}\rightarrow\cosh{x}$。
（03）$\tanh{x}\rightarrow\mathtt{sech^2{x}}=1-\tanh^2{x}$。

（04）$\mathtt{arcosh}{y}\rightarrow1/\sqrt{y^2-1}$。
（05）$\mathtt{arsinh}{y}\rightarrow1/\sqrt{y^2+1}$。
（06）$\mathtt{artanh}{y}\rightarrow1/(1-y^2)$。

【03】原函数，

（01）$\cosh{x}\leftarrow\sinh{x}$。
（02）$\sinh{x}\leftarrow\cosh{x}$。
（03）$\tanh{x}\leftarrow\ln(\cosh{x})$。

（04）arcosh、arsinh、artanh的原函数不好求。

【04】三角函数又叫圆函数，双曲函数又叫异圆函数，二者在复数域上是统一的。

“双曲线”私以为不太妥，叫异圆合适些，缦拨。

【05】图象

06 柯西—布尼亚—施瓦茨不等式

（01）常见式：$(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2$。

（02）向量式：$|\vec{a}|·|\vec{b}|\geq|\vec{a}·\vec{b}|$。

（03）三角式：$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\geq\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}$。

（04）定积分形式：$[\int_{a}^{b}f(x)g(x)\mathbb{d}x]^2\leq\int_{a}^{b}[f(x)]^2\mathbb{d}x·\int_{a}^{b}[g(x)]^2\mathbb{d}x$。

（05）概率期望形式：$|E(XY)|\leq\sqrt{E(X^2)}\sqrt{E(Y^2)}$。