01、常见导函数

历史上有三种导函数的记号，分别是：英国数学家牛顿的$\dot{y}$，法国数学家拉格朗日的$y'$，德国数学家莱布尼茨的$\frac{𝕕y}{𝕕x}$，沿用至今的积分记号$\int$也是莱布尼茨发明的。

（01）$\tan{x}\rightarrow\sec^2{x}=\tan^2{x}+1$，$\cot{x}\rightarrow-\csc^2{x}=-\cot^2{x}-1$。

（02）$\sec{x}\rightarrow\sec{x}\tan{x}$，$\csc{x}\rightarrow-\csc{x}\cot{x}$。

（03）对于抽象函数请勿使用基本初等函数的求导法则，请使用导数的定义式$f'(x)=\lim\{Δx\to0\}\frac{f(x+Δx)-f(x)}{Δx}$。

（04）莱布尼兹高阶求导法则，类似二项式定理，
$[u(x)v(x)]'^{(n)}\rightarrow\rightarrow\sum_{j=0}^{n}C_n^ju'^{(j)}v'^{(n-j)}$。

02、有关结论

【01】对一元函数，可导即可微，可导一定连续，但连续不一定可导。

【02】处处不连续的函数：狄利克雷函数。

【03】处处连续但处处不可导的函数：魏尔斯特拉斯函数。

【04】$f(x)$在$x=x_0$处可导，要使$|f(x)|$在$x=x_0$也可导，须满足以下两个条件中的一个，①$f(x_0)≠0$；②$f(x_0)且f'(x_0)=0$；

【05】达布定理：若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上处处可导，则$f'(x)$可以取到$[f'(a),f'(b)]$之间的任意值。
也叫导函数介值定理，导函数不一定连续，不同于连续函数的介值定理，勿混淆。

推论，①导函数没有第一类间断点，没有无穷间断点，可以有振荡间断点。②$[a,b]$上$f(x)\neq0$，$f(x)$严格单调。

左右侧导数：
$f'_-(x_0)=\lim\{x\to{x_0^-}\}{\large\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}},f'_+(x_0)=\lim\{x\to{x_0^+}\}{\large\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$；
导函数左右极限：
$f'(x_0^-)=\lim\{x\to{x_0^-}\}f'(x),f'(x_0^+)=\lim\{x\to{x_0^+}\}f'(x)$；

若导函数在某点的极限存在，则必等于该点的导数值。

$$ \begin{align} &f(x)= \begin{cases} x^2\cos{\frac{1}{x}}, &\texttt{if x ≠ 0} \\ 0, &\texttt{if x = 0} \\ \end{cases} \rightarrow f'(x)= \begin{cases} 2x\cos{\frac{1}{x}}+\sin{\frac{1}{x}}, &\texttt{if x ≠ 0} \\ 0, &\texttt{if x = 0} \\ \end{cases} \\ &f'_-(0)=\lim_{x\to{0^-}}\frac{x^2\cos{x}-0}{x-0}=0,f'_+(x_0)=\lim_{x\to{0^+}}\frac{x^2\cos{x}-0}{x-0}=0, \\ &f'(0^-)=\lim_{x\to{0^-}}(2x\cos{\frac{1}{x}}+\sin{\frac{1}{x}})㋱,f'(0^+)=\lim_{x\to{0^+}}(2x\cos{\frac{1}{x}}+\sin{\frac{1}{x}})㋱, \\ &f'(0^-),f'(0^+)\texttt{均不存在，}f'(x)\texttt{在x=0处}\textcolor{green}{不连续}\texttt{是振荡间断，但}f'(0)=0\text{，} \\ &\texttt{$f'(x)$在$[-1/𝜋,1/𝜋]$上可以取到$[-2/𝜋,2/𝜋]$里的全部数，包括0，} \\ &\texttt{不连续却能用介值定理，这是导函数的特殊之处。} \\ \\ &f(x)=\sqrt{x},x∈[0,+∞),f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},x∈(0,+∞), \\ &\texttt{$\frac{1}{2\sqrt{x}}$在x=0右侧单侧无穷间断，在x=0左边无定义，} \\ &\textcolor{green}{与我们一般说的（双侧）无穷间断点有区别。} \\ &f(x)=\sqrt[3]{x},x∈(-∞,+∞),f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[3]{x}-0}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\to+∞, \\ &\texttt{我们说$\sqrt[3]{x}$在(-∞,+∞)内是不可导的。} \\ &\textcolor{green}{也就没有反对导函数不能有无穷间断点的观点。} \\ \end{align} $$

03、微分中值定理

【01】罗尔中值定理：若函数$f(x)$满足条件，①闭区间$[a,b]$上连续；②开区间$(a,b)$内可导；③$f(a)=f(b)$；

则至少存在一个𝛏∈$(a,b)$，使得𝛏为极值点，$f'(𝜉)=0$。

【02】拉格朗日中值定理：$g(x)$满足，①在$[a,b]$连续；②在$(a,b)$可导；

至少存在一个𝛏∈$(a,b)$，使得$g(b)-g(a)=g'(𝜉)(b-a)$。

【03】柯西中值定理：$f(x),g(x)$满足，①在$[a,b]$连续；②在$(a,b)$可导；③$(a,b)$内$g'(x)≠0$；

至少存在一个𝛏∈$(a,b)$，使得$\large\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(𝜉)}{g'(𝜉)}$。

$$ \begin{align} &\texttt{罗尔中值定理由费马引理得来，拉格朗日柯西中值定理证明如下，} \\ &\texttt{构造函数 }F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\text{，} \\ &\texttt{易知 $F(b)=F(a)=0$，于是存在一个𝛏∈(a,b)，使得，} \\ &F'(𝜉)=0 \Rightarrow f'(𝜉)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\text{。} \\ &\texttt{构造函数 }G(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))\text{，} \\ &\texttt{易知 $G(b)=G(a)=0$，于是存在一个𝛏∈(a,b)，使得，} \\ &G'(𝜉)=0 \Rightarrow \frac{f'(𝜉)}{g'(𝜉)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\text{。} \\ \end{align} $$

【04】洛必达法则：
①当$x→0$或$∞$时，$f(x)→0,g(x)→0$或$f(x)→∞,g(x)→∞$；②$f'(x),g'(x)$都存在且$g'(x)≠0$；③$\large\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$存在；有 $\large\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$。

04、泰勒公式

得名于英国数学家布鲁克·泰勒，1712年提出，1820年完善，以多项式逼近复杂函数。

【01】若$f(x)$在包含$x_0$的某个开区间$(a,b)$上具有$n+1$阶导数，则对于任意$x∈(a,b)$，有
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+{\large\frac{f''(x_0)}{2}}(x-x_0)^2+{\large\frac{f'''(x_0)}{6}}(x-x_0)^3+\cdots$
$\qquad\quad+{\large\frac{f'^{(n)}(x_0)}{n!}}(x-x_0)^n+Re_n(x)$，

【02】余项$Re_n(x)$有两种形式，一是定性的皮亚诺余项$𝜊((x-x_0)^n)$，仅限于考察$x=x_0$一点处$f(x)$的极限性质；另一是定量的拉格朗日余项${\large\frac{f^{(n+1)}(𝜉)}{(n+1)!}x^{n+1}}$(𝜉介于x至$x_0$之间)，可用于考察$f(x)$在某区间上的不等式关系；

【03】当$x_0=0$时的泰勒公式也叫麦克劳林展开式，相应余项变为$𝜊(x^n)$或${\large\frac{f'^{(n+1)}(𝜃x)}{(n+1)!}}x^{n+1},0<𝜃<1$。

【04】基本初等函数的麦克劳林展开式，

（01）$\large\exp{x}$，
${\large 1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\cdots+\frac{1}{n!}x^n}$，
$𝜊(x^n),x→0$或${\large\frac{e^{𝜃x}}{(n+1)!}}*x^{n+1}$。

（02）$\large\sin{x}$，
${\large x-\frac{1}{6}x^3+\cdots+\frac{(-1)^{k-1}}{(2k-1)!}x^{2k-1}}$，
$𝜊(x^{2k}),x→0$或${\large\frac{(-1)^k\cos{𝜃x}}{(2k+1)!}}*x^{2k+1}$。

（03）$\large\cos{x}$，
${\large 1-\frac{1}{2}x^2+\cdots+\frac{(-1)^{k}}{(2k)!}x^{2k}}$，
$𝜊(x^{2k+1}),x→0$或${\large\frac{(-1)^{k+1}\cos{𝜃x}}{(2k+2)!}}*x^{2k+2}$。

（04）$\large\ln{(1+x)}$，
${\large x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n}$，
$𝜊(x^n),x→0$或${\large\frac{(-1)^n}{(n+1)(1+𝜃x)^{n+1}}}*x^{n+1}$。

（05）$\large(1+x)^l$，
${\large 1+lx+\frac{l(l-1)}{2}x^2+\frac{l(l-1)(l-2)}{6}x^3+\cdots+\frac{l(l-1)···(l-n+1)}{n!}x^n}$，
$𝜊(x^n),x→0$或${\large\frac{l(l-1)···(l-n)}{(n+1)!}}*(1+𝜃x)^{l-n-1}*x^{n+1}$。

$$ \begin{align} &\texttt{当l为分数时，可用有理式逼近无理函数；当l为正整数时，} \\ &l\leq{n}\texttt{，多项式部分同二项式定理展开式，且余项为0；} \\ &l>n\texttt{，多项式部分同二项式定理的前n项，来看拉格朗日余项，} \\ &l=n+1,Re_n(x)=\frac{(n+1)*n*···*1}{(n+1)!}*x^{n+1}=x^{n+1}\texttt{，完全对上，} \\ &l=n+2,Re_n(x)=\frac{(n+2)*(n+1)*···*2}{(n+1)!}*(1+𝜃x)*x^{n+1} \\ &\hspace{144px}=(n+2)x^{n+1}+x^{n+2}\text{，} \\ &𝜃=\frac{1}{n+2}\text{，} \\ &l=n+3,Re_n(x)=\frac{(n+3)*(n+2)*···*3}{(n+1)!}*(1+𝜃x)^2*x^{n+1} \\ &\hspace{144px}=\frac{(n+3)(n+2)}{2}x^{n+1}+(n+3)x^{n+2}+x^{n+3}\text{，} \\ &\frac{(n+3)(n+2)x^2}{2}𝜃^2+(n+3)(n+2)x𝜃-(x^2+(n+3)x)=0\text{，} \\ &\texttt{𝛉与n、(x-0)均有关。} \\ \end{align} $$

另，

（01）$\tan{x}$，
$x+\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5+𝜊(x^6)$。

（02）$\arcsin{x}$，
$x+\frac{1}{6}x^3+\frac{3}{40}x^5+𝜊(x^6)$。

（03）$\arctan{x}$，
$x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5+𝜊(x^6)$。

（04）$(1+x)^{x}$，
$𝕖(1-\frac{1}{2}x+\frac{11}{24}x^2-\frac{7}{16}x^3+𝜊(x^5))$。

所谓等价无穷小就是一阶麦克劳林展开式。

05、一二阶导函数的用途

【01】一阶导数与单调性

一阶导函数等于0的点，只是可能的极值点，如$x^3$在$x=0$处。
一阶导函数不存在的点，也是可能的极值点，如$f(x)=|x|$在$x=0$处。

【02】二阶导数与凹凸性