01、对称性
【01】第一类曲线曲面积分（对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分）结果只能为正；第二类曲线曲面积分（对坐标的曲线曲面积分）讲究方向，而且一定要注意方向！
【02】第一类曲积分容易看出结果为0的情形，
❶曲线在y轴方向上对称，被积函数关为y的奇函数。
即平面曲线关于x轴对称，空间曲线关于Ozx面对称。
对z,x也是类似的结论。
❷曲面在y轴方向上对称，被积函数关为y的奇函数。
即空间曲面关于Ozx面对称。
对z,x也是类似的结论。
【03】第二类曲积分容易看出结果为0的情形，
❶先决条件：分段光滑定向曲线𝜞在y轴方向上对称，然后看积分单元：
$\begin{cases}P(x,y,z)是y的偶函数⇒𝜞:\int{P}𝕕x=0\\Q(x,y,z)是y的奇函数⇒𝜞:\int{Q}𝕕y=0\\R(x,y,z)是y的偶函数⇒𝜞:\int{R}𝕕z=0\end{cases}$
若奇偶性相反则曲线取一半积分号前 ×2，记𝜞+为𝜞在y轴正半轴的部分，如下，
$\begin{cases}P(x,y,z)是y的奇函数⇒𝜞:\int{P}𝕕x=𝜞+:2\int{P}𝕕x\\Q(x,y,z)是y的偶函数⇒𝜞:\int{Q}𝕕y=𝜞+:2\int{Q}𝕕y\\R(x,y,z)是y的奇函数⇒𝜞:\int{R}𝕕z=𝜞+:2\int{R}𝕕z\end{cases}$
对z,x也是类似的结论。
❷先决条件：分块光滑定侧曲面𝜮在z轴方向上对称，$R(x,y,z)$为z的偶函数，$𝜮:\iint{R}𝕕x𝕕y=0$。
$R(x,y,z)$为z的奇函数就取半翻倍。
对另两个积分单元在转化$𝕕y𝕕z=-\frac{𝜕z}{𝜕x}𝕕x𝕕y,𝕕z𝕕xz=-\frac{𝜕z}{𝜕y}𝕕x𝕕y$下，是一样的结论。
❸更明显的是，曲线𝜞位于垂直y轴的平面上$𝜞:\int{Q}𝕕y=0$，曲面𝜮与Oxy面垂直$𝜮:\iint{R}𝕕x𝕕y=0$。
【04】可以看到，二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分、第二类曲线积分 有共同的性质，即积分域关于哪个对称，同时该积分元的被积函数为奇函数，结果就为0。
【05】若积分区域在y=x，（平面是直线、空间是平面）两侧对称，则该积分还具有对x,y的轮换对称性。
