《06》多元重积分和曲积分✅

2024年05月19日

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微积分

曲线曲面积分的对称性

【01】第一类曲线曲面积分（对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分）结果只能为正；第二类曲线曲面积分（对坐标的曲线曲面积分）讲究方向，而且一定要注意方向！

【02】第一类曲积分容易看出结果为0的情形，

❶曲线在y轴方向上对称，被积函数关为y的奇函数。

即平面曲线关于x轴对称，空间曲线关于Ozx面对称。
对z,x也是类似的结论。

❷曲面在y轴方向上对称，被积函数关为y的奇函数。

即空间曲面关于Ozx面对称。
对z,x也是类似的结论。

【03】第二类曲积分容易看出结果为0的情形，

❶先决条件：分段光滑定向曲线𝜞在y轴方向上对称，然后看积分单元：

$\begin{cases}P(x,y,z)是y的偶函数⇒𝜞:\int{P}𝕕x=0\\Q(x,y,z)是y的奇函数⇒𝜞:\int{Q}𝕕y=0\\R(x,y,z)是y的偶函数⇒𝜞:\int{R}𝕕z=0\end{cases}$

若奇偶性相反则曲线取一半积分号前 ×2，记𝜞+为𝜞在y轴正半轴的部分，如下，

$\begin{cases}P(x,y,z)是y的奇函数⇒𝜞:\int{P}𝕕x=𝜞+:2\int{P}𝕕x\\Q(x,y,z)是y的偶函数⇒𝜞:\int{Q}𝕕y=𝜞+:2\int{Q}𝕕y\\R(x,y,z)是y的奇函数⇒𝜞:\int{R}𝕕z=𝜞+:2\int{R}𝕕z\end{cases}$

对z,x也是类似的结论。

❷先决条件：分块光滑定侧曲面𝜮在z轴方向上对称，$R(x,y,z)$为z的偶函数，$𝜮:\iint{R}𝕕x𝕕y=0$。

$R(x,y,z)$为z的奇函数就取半翻倍。
对另两个积分单元在转化$𝕕y𝕕z=-\frac{𝜕z}{𝜕x}𝕕x𝕕y,𝕕z𝕕xz=-\frac{𝜕z}{𝜕y}𝕕x𝕕y$下，是一样的结论。

❸更明显的是，曲线𝜞位于垂直y轴的平面上$𝜞:\int{Q}𝕕y=0$，曲面𝜮与Oxy面垂直$𝜮:\iint{R}𝕕x𝕕y=0$。

【04】可以看到，二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分、第二类曲线积分有共同的性质，即积分域关于哪个对称，同时该积分元的被积函数为奇函数，结果就为0。

【05】若积分区域在$y=x$，（平面是直线、空间是平面）两侧对称，则该积分还具有对$x,y$的轮换对称性。

曲线曲面积分与重积分的转换定理

格林公式

Green's theorem，联系第二类二维曲线积分与二重积分之间的桥梁。

设$D$是二维平面中的区域，其边界是分段光滑的闭合曲线$L$，取正向、在$L$上沿正向运动时$D$始终在左侧，函数$P(x,y)$、$Q(x,y)$在$D$上具有一阶连续偏导数，

有：$\oint_L\;P\mathbb{d}y-Q\mathbb{d}x=\iint_D\;(\frac{𝜕P}{𝜕x}+\frac{𝜕Q}{𝜕y})\mathbb{d}x\mathbb{d}y$

⚠️应用该公式前一定要注意，$D$内不得含有使$(\frac{𝜕P}{𝜕x},\frac{𝜕Q}{𝜕y})$不存在的点。

或：$\oint_L\;P\mathbb{d}x+Q\mathbb{d}y=\iint_D\;(\frac{𝜕Q}{𝜕x}-\frac{𝜕P}{𝜕y})\mathbb{d}x\mathbb{d}y$

⚠️应用该公式前一定要注意，$D$内不得含有使$(\frac{𝜕Q}{𝜕x},\frac{𝜕P}{𝜕y})$不存在的点。

高斯公式

Gauss's theorem OR Divergence theorem，联系第二类曲面积分与三重积分之间的桥梁，又叫散度定理。

定义向量场$\vec{F}=(P,Q,R)$，其散度是一个数量$\mathtt{div}\vec{F}=\vec{\mathtt{grad}}\cdot\vec{F}$，

$\vec{\mathtt{grad}}\cdot\vec{F}=(\frac{𝜕}{𝜕x},\frac{𝜕}{𝜕y},\frac{𝜕}{𝜕z})\cdot(P,Q,R)=\frac{𝜕P}{𝜕x}+\frac{𝜕Q}{𝜕y}+\frac{𝜕R}{𝜕z}$

该向量场过封闭曲面$𝛴$的通量为$\iint_𝛴\;P\mathbb{d}y\mathbb{d}z+Q\mathbb{d}z\mathbb{d}x+R\mathbb{d}x\mathbb{d}y=\iint_𝛴\;(P\cos𝛼+Q\cos𝛽+R\cos𝛾)\mathbb{d}S$

记$\vec{\mathbb{d}S}=(\mathbb{d}y\mathbb{d}z,\mathbb{d}z\mathbb{d}x,\mathbb{d}x\mathbb{d}y)$是曲面微元向量，$\vec{n}=(\cos𝛼,\cos𝛽,\cos𝛾)$是曲面$𝛴$的单位外侧法向量。

设$V$是三维空间中的立体，其边界是分段光滑的封闭曲面$𝛴$，取外侧、$𝛴$始终背向$V$，函数$P(x,y,z)$、$Q(x,y,z)$、$R(x,y,z)$在$V$上具有一阶连续偏导数，

有：$\iint_𝛴\;P\mathbb{d}y\mathbb{d}z+Q\mathbb{d}z\mathbb{d}x+R\mathbb{d}x\mathbb{d}y=\iiint_V\;(\frac{𝜕P}{𝜕x}+\frac{𝜕Q}{𝜕y}+\frac{𝜕R}{𝜕z})\mathbb{d}x\mathbb{d}y\mathbb{d}z$

⚠️应用该公式前一定要注意，$V$内不得含有使$(\frac{𝜕P}{𝜕x},\frac{𝜕Q}{𝜕y},\frac{𝜕R}{𝜕z})$不存在的点。

高斯公式可以写成向量形式：

$\iint_𝛴\;\vec{F}\cdot\vec{\mathbb{d}S}=\iint_𝛴\;\vec{F}\cdot\vec{n}{\mathbb{d}S}=\iiint_V\;\mathtt{div}\vec{F}\mathbb{d}V$

当$R=0$，$P$、$Q$与$z$无关时，立体$V$相应变为$\{(x,y,z)|(x,y)\in\;D,z\in[z_1,z_2]\}$的柱体，其外侧曲面在$Oxy$面投影为$D$，$D$的正向边界为二维闭合曲线$L$，

通量为$\iint_𝛴\;P\mathbb{d}y\mathbb{d}z+Q\mathbb{d}z\mathbb{d}x=(z_2-z_1)\int_L\;P\mathbb{d}y-Q\mathbb{d}x$

散度为$\iiint_V\;(\frac{𝜕P}{𝜕x}+\frac{𝜕Q}{𝜕y})\mathbb{d}x\mathbb{d}y\mathbb{d}z=(z_2-z_1)\iint_D\;(\frac{𝜕P}{𝜕x}+\frac{𝜕Q}{𝜕y})\mathbb{d}x\mathbb{d}y$

于是高斯公式退化为格林公式$\oint_L\;P\mathbb{d}y-Q\mathbb{d}x=\iint_D\;(\frac{𝜕P}{𝜕x}+\frac{𝜕Q}{𝜕y})\mathbb{d}x\mathbb{d}y$

斯托克斯公式

Stokes' theorem OR Rotation theorem，联系第二类三维曲线积分与第二类曲面积分之间的桥梁，又叫旋度定理。

定义向量场$\vec{F}=(P,Q,R)$，其旋度是一个向量$\mathtt{rot}\vec{F}=\vec{\mathtt{grad}}\times\vec{F}$，

$\vec{\mathtt{grad}}\times\vec{F}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\frac{𝜕}{𝜕x} & \frac{𝜕}{𝜕y} & \frac{𝜕}{𝜕z} \\P & Q & R\end{vmatrix}=\Big(\frac{𝜕R}{𝜕y}-\frac{𝜕Q}{𝜕z},\frac{𝜕P}{𝜕z}-\frac{𝜕R}{𝜕x},\frac{𝜕Q}{𝜕x}-\frac{𝜕P}{𝜕y}\Big)$

该向量场经闭合曲线$𝛤$的环量为$\oint_𝛤\;P\mathbb{d}x+Q\mathbb{d}y+R\mathbb{d}z=\oint_𝛤\;(P\cos𝜔+Q\cos𝜓+R\cos𝜔)\mathbb{d}r$

记$\vec{\mathbb{d}r}=(\mathbb{d}x,\mathbb{d}y,\mathbb{d}z)$是曲线微元向量，$\vec{t}=(\cos𝜑,\cos𝜓,\cos𝜔)$是曲线$𝛤$的单位切向量，朝着$𝛤$的方向旋转。

$\vec{\mathbb{d}S}=(\mathbb{d}y\mathbb{d}z,\mathbb{d}z\mathbb{d}x,\mathbb{d}x\mathbb{d}y)$是曲面微元向量，$\vec{n}=(\cos𝛼,\cos𝛽,\cos𝛾)$是曲面$𝛴$的单位法向量，$\vec{n}$的侧向与$\vec{t}$的旋转方向满足右手螺旋。

设$𝛴$是三维空间中的曲面，其边界是分段光滑的闭合曲线$𝛤$，$𝛴$的侧与$𝛤$的方向满足右手螺旋，函数$P(x,y,z)$、$Q(x,y,z)$、$R(x,y,z)$在$𝛴$上具有一阶连续偏导数，

有：$\oint_𝛤\;P\mathbb{d}x+Q\mathbb{d}y+R\mathbb{d}z=\iint_𝛴\;(\frac{𝜕R}{𝜕y}-\frac{𝜕Q}{𝜕z})\mathbb{d}y\mathbb{d}z+(\frac{𝜕P}{𝜕z}-\frac{𝜕R}{𝜕x})\mathbb{d}z\mathbb{d}x+(\frac{𝜕Q}{𝜕x}-\frac{𝜕P}{𝜕y})\mathbb{d}x\mathbb{d}y$

$\qquad\qquad=\iint_𝛴\;[(\frac{𝜕R}{𝜕y}-\frac{𝜕Q}{𝜕z})\cos𝛼+(\frac{𝜕P}{𝜕z}-\frac{𝜕R}{𝜕x})\cos𝛽+(\frac{𝜕Q}{𝜕x}-\frac{𝜕P}{𝜕y})\cos𝛾]\mathbb{d}S$

斯托克斯公式可以写成向量形式：

$\oint_𝛤\;\vec{F}\cdot\vec{\mathbb{d}r}=\oint_𝛤\;\vec{F}\cdot\vec{t}{\mathbb{d}r}=\iint_𝛴\;\mathtt{rot}\vec{F}\cdot\vec{\mathbb{d}S}=\iint_𝛴\;\mathtt{rot}\vec{F}\cdot\vec{n}\mathbb{d}S$

当$R=0$，$P$、$Q$与$z$无关时，曲面$𝛴$相应变为平面$D$，$D$的正向边界为二维闭合曲线$L$，

环量为$\oint_L\;P\mathbb{d}x+Q\mathbb{d}y$

旋度为$\iint_D\;(\frac{𝜕Q}{𝜕x}-\frac{𝜕P}{𝜕y})\mathbb{d}x\mathbb{d}y$

于是斯托克斯公式退化为格林公式$\oint_L\;P\mathbb{d}x+Q\mathbb{d}y=\iint_D\;(\frac{𝜕Q}{𝜕x}-\frac{𝜕P}{𝜕y})\mathbb{d}x\mathbb{d}y$