01、向量组的线性关系

【01】线性相关：内在关系

令$𝐂=(𝛄_1,\cdots,𝛄_n)$，$(𝛄_1,\cdots,𝛄_n)$线性相关⇔方程组𝐂𝛘=𝐎有非零解。

当向量的个数n$>$向量的维度m，即𝐂的列数大于行数时，$(𝛄_1,\cdots,𝛄_n)$一定线性相关。

$(𝛂_1,\cdots,𝛂_s)$线性无关，$(𝛂_1,\cdots,𝛂_s,𝛃_t)$线性相关⇔$𝛃_t$可由$𝛂_1,\cdots,𝛂_s$线性表示。

$𝛃_t$可由$𝛂_1,\cdots,𝛂_s$线性表示，且表示法惟一⇔$(𝛂_1,\cdots,𝛂_s)$线性无关。

【02】线性表示：外在关系

矩阵𝐀的列向量组$(𝛂_1,\cdots,𝛂_s)$，矩阵𝐁的列向量组$(𝛃_1,\cdots,𝛃_t)$，
$(𝛃_1,\cdots,𝛃_t)$可用$(𝛂_1,\cdots,𝛂_s)$线性表示⇔方程组𝐀𝛘=𝐁有解。

矩阵𝐀的行向量组$(𝛂_1',\cdots,𝛂_s')'$，矩阵𝐁的行向量组$(𝛃_1',\cdots,𝛃_t')'$，
$(𝛃_1',\cdots,𝛃_t')'$可用$(𝛂_1',\cdots,𝛂_s')'$线性表示⇔方程组𝛘𝐀=𝐁有解。

前提假设所有向量的维度都是一样的，t可以为1，s一般不为1。

02、向量组的秩

向量组的秩指向量组中最多能包含多少个线性无关的向量，那些个向量也称为它的一个极大无关组。并且该向量组与它的极大无关组等价。

用秩判断线性相关：$\mathtt{rank(𝛄_1,\cdots,𝛄_n)=n}$⇔$(𝛄_1,\cdots,𝛄_n)$线性无关。

用秩判断线性表示：$\mathtt{rank(𝛂_1,\cdots,𝛂_s,𝛃_1,\cdots,𝛃_t)=rank(𝛂_1,\cdots,𝛂_s)}$⇔$𝛃_1,\cdots,𝛃_t$可由$𝛂_1,\cdots,𝛂_s$线性表示，且$\mathtt{rank(𝛃_1,\cdots,𝛃_t)\leq{rank(𝛂_1,\cdots,𝛂_s)}}$，被表示组的秩小。

秩与等价：两向量组$(𝛂_1,\cdots,𝛂_s)$和$(𝛃_1,\cdots,𝛃_t)$等价⇔$\mathtt{rank(𝛂_1,\cdots,𝛂_s)=rank(𝛃_1,\cdots,𝛃_t)=rank(𝛂_1,\cdots,𝛂_s,𝛃_1,\cdots,𝛃_t)}$，判断等价的时候光看那两个向量组的秩还不够！