01、原函数与不定积分

【01】在某闭区间上，①连续函数必有原函数；②有可去、跳跃间断点的函数必无原函数；③有无穷间断点的函数必无原函数，有振荡间断点就不一定；

【02】求原是求导的逆运算，原函数要么连续要么只有可去间断点，原函数存在，不定积分就存在。

$$ \begin{align} &\frac{1}{x}\texttt{在(-∞,+∞)上有无穷间断x=0，没有原函数，} \\ &\texttt{只是在(-∞,0)上有原函数$\ln(-x)$和在(0,+∞)上有原函数$\ln(x)$} \\ &\texttt{孪生兄弟合并写成不定积分$\ln|x|+𝓒,x∈(-∞,0)\cup(0,+∞)$。} \\ \end{align} $$

【03】原函数与不定积分有一定区别，

如${\large f(x)=\frac{-1}{x^2+1}}$的不定积分为$\int{f(x)}𝕕x=\arctan\frac{1}{x}+𝑪$，但其一个原函数为

$$ \int_{0}^{x}{f(t)}𝕕t= \begin{cases} \arctan\frac{1}{x}+\frac{𝜋}{2}, &\texttt{if x < 0} \\ 0, &\texttt{if x = 0} \\ \arctan\frac{1}{x}-\frac{𝜋}{2}, &\texttt{if x > 0} \\ \end{cases} $$

只因原函数要在$x=0$处连续，而$x=0$是$arctanx$的跳跃间断点。

02、定积分存在定理

【01】必要条件：可积函数在闭区间上必有界。

【02】充分条件：闭区间上，①连续函数必可积；②单调函数必可积；③有界且只有有限个间断点的函数必可积。

【03】这里的可积一般指黎曼可积，就是“分割、求和、取极限”三步。除黎曼积分，还有斯蒂尔切斯积分、勒贝格积分等。

【04】不定积分是一个函数族，而定积分本质是一个数。

03、常见不定积分

省略掉了常数项+𝑪，但请不要忘记+𝑪。

（01）$\int\sec{x}𝕕x=\ln|\sec{x}+\tan{x}|$。
（01）$\int\csc{x}𝕕x=\ln|\csc{x}-\cot{x}|$。

（02）$\int{\arcsin{x}}𝕕x=x\arcsin{x}+\sqrt{1-x^2}$。
（02）$\int{\arctan{x}}𝕕x=x\arctan{x}-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)$。

（03）$\int{x𝕖^{𝒌x}}𝕕x=\frac{1}{𝒌}𝕖^{𝒌x}(x-\frac{1}{𝒌})$。
（03）$\int{x^2𝕖^{𝒌x}}𝕕x=\frac{1}{𝒌}𝕖^{𝒌x}(x^2-\frac{2}{𝒌}x+\frac{2}{𝒌^2})$。

（04）$\large\int\frac{1}{x^2+𝒃^2}𝕕x=\frac{1}{𝒃}\arctan\frac{x}{𝒃}$。
（04）$\large\int\frac{1}{x^2-𝒃^2}𝕕x=\frac{1}{2𝒃}\ln\left|\frac{x-𝒃}{x+𝒃}\right|$。
（04）$\large\int\frac{1}{𝒃^2-x^2}𝕕x=\frac{1}{2𝒃}\ln\left|\frac{𝒃+x}{𝒃-x}\right|$。

（05）$\int\sqrt{x^2+𝒃^2}𝕕x={\large\frac{x}{2}}\sqrt{x^2+𝒃^2}+{\large\frac{𝒃^2}{2}}\ln\big|x+\sqrt{x^2+𝒃^2}\big|$。
（05）$\int\sqrt{x^2-𝒃^2}𝕕x={\large\frac{x}{2}}\sqrt{x^2-𝒃^2}-{\large\frac{𝒃^2}{2}}\ln\big|x+\sqrt{x^2-𝒃^2}\big|$。
（05）$\int\sqrt{𝒃^2-x^2}𝕕x={\large\frac{𝒃^2}{2}}\arcsin(x/𝒃)+{\large\frac{x}{2}}\sqrt{𝒃^2-x^2}$。

（06）${\large\int\frac{1}{\sqrt{x^2+𝒃^2}}𝕕x}=\ln\big|x+\sqrt{x^2+𝒃^2}\big|$。
（06）${\large\int\frac{1}{\sqrt{x^2-𝒃^2}}𝕕x}=\ln\big|x+\sqrt{x^2-𝒃^2}\big|$。
（06）${\large\int\frac{1}{\sqrt{𝒃^2-x^2}}𝕕x}=\arcsin(x/𝒃)$。

（06）的①②式反过来就是反双曲正余弦函数的求导。

04、三角函数定积分的区间再现法

（01）$\int_{0}^{𝜋/2}f(\sin{t})𝕕t=\int_{0}^{𝜋/2}f(\cos{t})𝕕t$。

（02）$\int_{0}^{𝜋}\sin^𝒌{t}𝕕t=2\int_{0}^{𝜋/2}\sin^𝒌{t}𝕕t$，无论𝒌是奇是偶。

（03）$\int_{0}^{𝜋}\cos^𝒌{t}𝕕t=2\int_{0}^{𝜋/2}\cos^𝒌{t}𝕕t$，𝒌是偶数。
（03）$\int_{0}^{𝜋}\cos^𝒌{t}𝕕t=0$，𝒌是奇数。

（04）$\int_{0}^{2𝜋}\sin^𝒌{t}𝕕t=2\int_{0}^{𝜋}\sin^𝒌{t}𝕕t$，𝒌是偶数。
（04）$\int_{0}^{2𝜋}\sin^𝒌{t}𝕕t=0$，𝒌是奇数。

（05）$\int_{0}^{2𝜋}\cos^𝒌{t}𝕕t=2\int_{0}^{𝜋}\cos^𝒌{t}𝕕t$，无论𝒌是奇是偶。

（06）$\int_{0}^{𝜋}sf(\sin{s})𝕕s=\frac{𝜋}{2}\int_{0}^{𝜋}f(\sin{t})𝕕t=𝜋\int_{0}^{𝜋/2}f(\cos{t})𝕕t$。

（07）区间换到$[0,𝜋/2]$就方便用华里式点火公式：

① $\int_{0}^{𝜋/2}\sin^𝒌{x}𝕕x=\large\frac{(𝒌-1)!!}{𝒌!!}*\frac{𝜋}{2}$，n为偶数；

② $\int_{0}^{𝜋/2}\sin^𝒌{x}𝕕x=\large\frac{(𝒌-1)!!}{𝒌!!}$，n为奇数；

其中，$𝒌!!=𝒌*(𝒌-2)*(𝒌-4)*···*(2|1)$。

05、积分中值定理

【01】积分第一中值定理：$f(x)$在$[a,b]$上连续，$g(x)$在$[a,b]$上不变号且可积，在$[a,b]$上

至少存在一点𝛈使得，$\int_{a}^{b}f(x)g(x)𝕕x=f(𝜂)\int_{a}^{b}g(x)𝕕x$，

$g(x)$为常值函数时是更常见的形式，$\int_{a}^{b}f(x)𝕕x=f(𝜂)(b-a)$。

$$ \begin{align} &\texttt{若$g(x)≡0$恒成立则定理等式成立。} \\ &\texttt{不妨设$g(x)>0$，$f(x)$在[a,b]上连续有最值，设最大值为Max最小值为Min}， \\ &{Min*g(x)}\leq{f(x)*g(x)}\leq{Max*g(x)}\text{，} \\ &{Min*\int_{a}^{b}g(x)𝕕x}\leq{\int_{a}^{b}f(x)*g(x)𝕕x}\leq{Max*\int_{a}^{b}g(x)𝕕x}\text{，} \\ &\texttt{由于$\int_{a}^{b}g(x)𝕕x>0$，两边同除$\int_{a}^{b}g(x)𝕕x$得，} \\ &{Min}\leq{\int_{a}^{b}f(x)*g(x)𝕕x\Big{/}\int_{a}^{b}g(x)𝕕x}\leq{Max}\text{，} \\ &\texttt{由连续的介值定理知，存在这样的𝛈∈[a,b]，使得，} \\ &\int_{a}^{b}f(x)g(x)𝕕x=f(𝜂)\int_{a}^{b}g(x)𝕕x\text{。} \\ \end{align} $$

二重积分第一中值定理：$DISTRICT:\iint{f(x,y)}𝕕x𝕕y=f(𝜇,𝜈)*DISTRICT$。

【02】积分第二中值定理：$f(x)$在$[a,b]$上可积，$g(x)$在$[a,b]$上单调，在$[a,b]$上至少存在一点𝛈使得，

$\int_{a}^{b}f(x)g(x)𝕕x=g(a)\int_{a}^{𝜂}f(x)𝕕x+g(b)\int_{𝜂}^{b}f(x)𝕕x$，

证明比较复杂，也不常用，有两种推广形式，

①若$g(x)\geq0$且是递减的，则$\int_{a}^{b}f(x)g(x)𝕕x=g(a)\int_{a}^{𝜂}f(x)𝕕x$；

②若$g(x)\geq0$且是递增的，则$\int_{a}^{b}f(x)g(x)𝕕x=g(b)\int_{𝜂}^{b}f(x)𝕕x$；

三个𝛈并不是同一个𝛈，勿混淆。

06、反常积分敛散性

反常积分有对无界函数和无穷区间的积分，敛散性判定法则为：

❶先做等价无穷小的替换，化为$\int_{0}^{∞}{1\big/x^𝛼\ln^𝛽{x}}𝕕x$的形式；

❷$x\to0$，无界函数，$\begin{cases}𝛼<1\\𝛼=1,𝛽>1\end{cases}$时，收敛；

❸$x\to∞$，无穷区间，$\begin{cases}𝛼>1\\𝛼=1,𝛽>1\end{cases}$时，收敛；

❹其余情况均为发散。