『01』、求微分方程$-y''+y'=2x$的特解？

$$ \begin{align} 解： \\ &{(-𝔻^2+𝔻)[y]=2x}\Rightarrow{y^*=\frac{1}{𝔻(1-𝔻)}[2x]} \\ &=\frac{1}{𝔻}(1+𝔻)[2x]=\frac{1}{𝔻}[2x+2]=x^2+2x\text{，} \\ &\texttt{若先用交换律，}y^*=\frac{1}{(1-𝔻)𝔻}[2x]=\frac{1}{1-𝔻}[x^2] \\ &=(1+𝔻+𝔻^2)[x^2]=x^2+2x+2\text{，} \\ &\texttt{则会多出来一项+2。求得齐次通解$𝓒_1+𝓒_2e^x$可知，} \\ &\texttt{两个答案差了一个齐次通解项，都是正确的。} \\ &\textcolor{green}{\texttt{在特解中我们只求“关键项”。}} \\ \end{align} $$

『02』、求微分方程$y''+2y'=x^2$的特解？

$$ \begin{align} 解： \\ &{(𝔻^2+2𝔻)[y]=x^2}\Rightarrow{y^*=\frac{1}{𝔻(𝔻+2)}[x^2]} \\ &=\frac{1}{𝔻}(1-\frac{𝔻}{4}+\frac{𝔻^2}{8})[x^2]=\frac{1}{𝔻}[x^2-\frac{2}{4}x+\frac{2}{8}] \\ &=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{4}x\text{。} \\ \end{align} $$

『03』、求微分方程$y''+2y'+y=𝕖^{2x}$的特解？

$$ \begin{align} 解： \\ &{(𝔻^2+2𝔻+1)[y]=𝕖^{2x}}\Rightarrow{y^*=\frac{1}{(𝔻+1)^2}[𝕖^{2x}]} \\ &=\frac{1}{(2+1)^2}[𝕖^{2x}]=\frac{1}{9}𝕖^{2x}\text{。} \\ \end{align} $$

『04』、求微分方程$y''-2y'+y=𝕖^x$的特解？

$$ \begin{align} 解： \\ &{(𝔻^2-2𝔻+1)[y]=𝕖^{x}}\Rightarrow{y^*=\frac{1}{(1-𝔻)^2}[𝕖^{x}]} \\ &\textcolor{green}{移心大法}=𝕖^{x}*\frac{1}{𝔻^2}[1]=\frac{1}{2}x^2𝕖^{x}\text{。} \\ \end{align} $$

『05』、求微分方程$y''-3y'+2y=x𝕖^x$的特解？

$$ \begin{align} 解： \\ &{(𝔻^2-3𝔻+2)[y]=x𝕖^{x}}\Rightarrow{y^*=\frac{1}{(𝔻-1)(𝔻-2)}[x𝕖^{x}]} \\ &\textcolor{green}{移心大法}=𝕖^{x}*\frac{1}{𝔻(𝔻-1)}[x]=𝕖^{x}*\frac{1}{𝔻}(-1-𝔻)[x] \\ &=𝕖^{x}*\frac{1}{𝔻}(-x-1)=(-\frac{1}{2}x^2-x)𝕖^{x}\text{。} \\ \end{align} $$

『06』、求微分方程$y''-2y'+2y=x𝕖^x$的特解？

$$ \begin{align} 解： \\ &{(𝔻^2-2𝔻+2)[y]=x𝕖^{x}}\Rightarrow{y^*=\frac{1}{(𝔻-1)^2+1}[x𝕖^{x}]} \\ &\textcolor{green}{虚数参与}=𝕖^{x}*\frac{1}{𝔻^2+1}[x]=𝕖^{x}*\frac{1}{(𝔻+𝕚)(𝔻-𝕚)}[x] \\ &=𝕖^{x}*\frac{1}{𝔻+𝕚}(-\frac{1}{𝕚}-\frac{𝔻}{-1})[x]=𝕖^{x}*\frac{1}{𝔻+𝕚}(𝕚x+1) \\ &=𝕖^{x}*(\frac{1}{𝕚}-\frac{𝔻}{-1})(𝕚x+1)=(x-𝕚+𝕚)𝕖^{x}=x𝕖^{x}\text{。} \\ &\texttt{虽然很少出现，但不要忘了虚数也可以参与因式分解。} \end{align} $$

『07』、求微分方程$y''-2y'+y=\cos{x}$的特解？

$$ \begin{align} 解： \\ &{(𝔻^2-2𝔻+1)[y]=\cos{x}}\Rightarrow{y^*=\frac{1}{(1-𝔻)^2}[\frac{𝕖^{-𝕚x}+𝕖^{𝕚x}}{2}]} \\ &=\frac{1}{2}\Bigg(\frac{𝕖^{-𝕚x}}{(1+𝕚)^2}+\frac{𝕖^{𝕚x}}{(1-𝕚)^2}\Bigg)=\frac{1}{2}\Big(\frac{𝕖^{-𝕚x}}{2𝕚}+\frac{𝕖^{𝕚x}}{-2𝕚}\Big) \\ &=-\frac{1}{2}*\frac{𝕖^{𝕚x}-𝕖^{-𝕚x}}{2𝕚}=-\frac{1}{2}\sin{x}\text{。} \\ &\texttt{可以看到，当各系数均为实数时，将$\cos{𝜃x},\sin{𝜃x}$转变成$𝕖^{-𝕚𝜃x},𝕖^{𝕚𝜃x}$} \\ &\texttt{最后$𝕖^{-𝕚𝜃x},𝕖^{𝕚𝜃x}$的系数又会凑成一对共轭复数还原回三角函数。} \\ \end{align} $$

『08』、求微分方程$y''-2y'+y=-\sin{2x}$的特解？

$$ \begin{align} 解： \\ &{(𝔻^2-2𝔻+1)[y]=-\sin{2x}}\Rightarrow{y^{**}=\frac{1}{(1-𝔻)^2}[-𝕖^{2𝕚x}]} \\ &=\frac{𝕖^{2𝕚x}}{(1-2𝕚)^2}=\frac{𝕖^{2𝕚x}}{3+4𝕚}=\frac{3-4𝕚}{25}(\cos{2x}+𝕚\sin{2x}) \\ &=(\frac{3}{25}\cos{2x}+\frac{4}{25}\sin{2x})+𝕚(\frac{3}{25}\sin{2x}-\frac{4}{25}\cos{2x}) \\ &\Rightarrow{y^*=-\frac{4}{25}\cos{2x}+\frac{3}{25}\sin{2x}}\text{。} \\ &\texttt{各系数均为实数又有这种虚实结合解法，$\cos$对应实部$\sin$对应虚部。} \\ \end{align} $$

『09』、求微分方程$y''-3y'+2y=𝕖^{-x}\cos{x}$的特解？

$$ \begin{align} 解： \\ &{(𝔻^2-3𝔻+2)[y]=𝕖^{-x}\cos{x}}\Rightarrow{y^{**}=\frac{1}{(𝔻-1)(𝔻-2)}[𝕖^{(-1+𝕚)x}]} \\ &=\frac{𝕖^{(-1+𝕚)x}}{(𝕚-2)(𝕚-3)}=\frac{𝕖^{(-1+𝕚)x}}{5-5𝕚}=\frac{𝕖^{-x}}{10}(1+𝕚)(\cos{x}+𝕚\sin{x}) \\ &=\frac{1}{10}𝕖^{-x}((\cos{x}-\sin{x})+𝕚(\cos{x}+\sin{x})) \\ &\Rightarrow{y^*=\frac{1}{10}𝕖^{-x}(\cos{x}-\sin{x})}\text{。} \\ \end{align} $$

『10』、求微分方程$y''+4y=x\sin{2x}$的特解？

$$ \begin{align} 解： \\ &{(𝔻^2+4)[y]=x\sin{2x}}\Rightarrow{y^{**}=\frac{1}{𝔻^2+4}[x𝕖^{2𝕚x}]} \\ &=𝕖^{2𝕚x}*\frac{1}{𝔻(𝔻+4𝕚)}[x]=𝕖^{2𝕚x}*\frac{1}{𝔻}[\frac{x}{4𝕚}+\frac{1}{16}] \\ &=𝕖^{2𝕚x}*(\frac{x^2}{8𝕚}+\frac{x}{16})=\frac{x}{16}(1-2𝕚x)(\cos{2x}+𝕚\sin{2x}) \\ &\Rightarrow{y^*=\frac{1}{16}x(-2x\cos{2x}+\sin{2x})}\text{。} \\ \end{align} $$

『11』、求微分方程$y''-2y'+2y=x𝕖^x(\cos{x}+\sin{x})$的特解？

$$ \begin{align} 解： \\ &{(𝔻^2-2𝔻+2)[y]=x𝕖^x(\cos{x}+\sin{x})} \\ \Rightarrow{y^{**}}&=\frac{1}{(𝔻-1)^2+1}[x𝕖^{(1+𝕚)x}] \\ &=𝕖^{(1+𝕚)x}*\frac{1}{𝔻(𝔻+2𝕚)}[x] \\ &=𝕖^{(1+𝕚)x}*\frac{1}{𝔻}(\frac{1}{2𝕚}-\frac{𝔻}{-4})[x] \\ &=𝕖^{(1+𝕚)x}*\frac{1}{𝔻}[\frac{1}{2𝕚}x+\frac{1}{4}] \\ &=𝕖^{(1+𝕚)x}*\frac{1}{4}(-𝕚x^2+x) \\ &=\frac{x𝕖^x}{4}(1-𝕚x)(\cos{x}+𝕚\sin{x}) \\ &=\frac{x𝕖^x}{4}((\cos{x}+x\sin{x})+𝕚(-x\cos{x}+\sin{x})) \\ \Rightarrow{y^*}&=\frac{1}{4}x𝕖^x((\cos{x}+x\sin{x})+(-x\cos{x}+\sin{x})) \\ &=\frac{1}{4}x𝕖^x((1-x)\cos{x}+(1+x)\sin{x})\text{。} \\ &这样的题要是用待定系数法，三项连乘求导都很繁琐。 \\ \end{align} $$

『12』、对双曲函数$\cosh{(𝜔x)},\sinh{(𝜔x)}$使用一下$F^{-1}(𝔻)$。

$F(𝔻)$总可以因式分解成$(𝔻-j_1)(𝔻-j_2)\cdots$的形式，故求一下$\frac{1}{𝔻-j}$对函数的作用就好，

首先来看𝒋≠𝜔且𝒋≠-𝜔的情况，

$$ \begin{align} @&\frac{1}{𝔻-j}[\cosh{(𝜔x)}]=\frac{1}{𝔻-j}\bigg[\frac{𝕖^{𝜔x}+𝕖^{-𝜔x}}{2}\bigg] \\ &=\frac{1}{2(𝜔-j)}*𝕖^{𝜔x}-\frac{1}{2(𝜔+j)}*𝕖^{-𝜔x} \\ &=\frac{1}{2(𝜔-j)}*\big(\cosh{(𝜔x)}+\sinh{(𝜔x)}\big) \\ &-\frac{1}{2(𝜔+j)}*\big(\cosh{(𝜔x)}-\sinh{(𝜔x)}\big) \\ &=\frac{1}{𝜔^2-j^2}*(j\cosh{(𝜔x)}+𝜔\sinh{(𝜔x)}) \\ \end{align} $$

$$ \begin{align} @&\frac{1}{𝔻-j}[\sinh{(𝜔x)}]=\frac{1}{𝔻-j}\bigg[\frac{𝕖^{𝜔x}-𝕖^{-𝜔x}}{2}\bigg] \\ &=\frac{1}{2(𝜔-j)}*𝕖^{𝜔x}+\frac{1}{2(𝜔+j)}*𝕖^{-𝜔x} \\ &=\frac{1}{2(𝜔-j)}*\big(\cosh{(𝜔x)}+\sinh{(𝜔x)}\big) \\ &+\frac{1}{2(𝜔+j)}*\big(\cosh{(𝜔x)}-\sinh{(𝜔x)}\big) \\ &=\frac{1}{𝜔^2-j^2}*(j\sinh{(𝜔x)}+𝜔\cosh{(𝜔x)}) \\ \end{align} $$

𝒋≠𝕚𝛳且𝒋≠-𝕚𝛳，

$$ \begin{align} @&\frac{1}{𝔻-j}[\cos{(𝛳x)}]=\frac{1}{𝔻-j}[\cosh(𝕚𝛳x)] \\ &=\frac{1}{-𝛳^2-j^2}*(j\cosh{(𝕚𝛳x)}+𝕚𝛳\sinh{(𝕚𝛳x)}) \\ &=\frac{-1}{𝛳^2+j^2}*(j\cos{(𝛳x)}-𝛳\sin{(𝛳x)}) \\ @&\frac{1}{𝔻-j}[\sin{(𝛳x)}]=\frac{1}{𝔻-j}[\sinh(𝕚𝛳x)/𝕚] \\ &=\frac{-𝕚}{-𝛳^2-j^2}*(j\sinh{(𝕚𝛳x)}+𝕚𝛳\cosh{(𝕚𝛳x)}) \\ &=\frac{-1}{𝛳^2+j^2}*(j\sin{(𝛳x)}+𝛳\cos{(𝛳x)}) \\ \end{align} $$

然后来看𝒋=𝜔或𝒋=-𝜔的情况，𝒋=-𝜔与𝒋=𝜔过程相似，只看𝒋=𝜔，

$$ \begin{align} @&\frac{1}{𝔻-j}[\cosh{(𝜔x)}]=\frac{1}{𝔻-𝜔}\bigg[\frac{𝕖^{𝜔x}+𝕖^{-𝜔x}}{2}\bigg] \\ &=\frac{x}{2}*𝕖^{𝜔x}-\frac{1}{4𝜔}*𝕖^{-𝜔x} \\ &=(\frac{x}{2}-\frac{1}{4𝜔})*\cosh{(𝜔x)}+(\frac{x}{2}+\frac{1}{4𝜔})*\sinh{(𝜔x)} \\ @&\frac{1}{𝔻-j}[\sinh{(𝜔x)}]=\frac{1}{𝔻-𝜔}\bigg[\frac{𝕖^{𝜔x}-𝕖^{-𝜔x}}{2}\bigg] \\ &=\frac{x}{2}*𝕖^{𝜔x}+\frac{1}{4𝜔}*𝕖^{-𝜔x} \\ &=(\frac{x}{2}-\frac{1}{4𝜔})*\sinh{(𝜔x)}+(\frac{x}{2}+\frac{1}{4𝜔})*\cosh{(𝜔x)} \\ \end{align} $$

𝒋=𝕚𝛳或𝒋=-𝕚𝛳，只看𝒋=𝕚𝛳，

$$ \begin{align} @&\frac{1}{𝔻-j}[\cos{(𝛳x)}]=\frac{1}{𝔻-𝕚𝛳}[\cosh{(𝕚𝛳x)}] \\ &=(\frac{x}{2}-\frac{1}{4𝕚𝛳})*\cosh{(𝕚𝛳x)}+(\frac{x}{2}+\frac{1}{4𝕚𝛳})*\sinh{(𝕚𝛳x)} \\ &=(\frac{x}{2}+\frac{𝕚}{4𝛳})*\cos{(𝛳x)}+(\frac{𝕚x}{2}+\frac{1}{4𝛳})*\sin{(𝛳x)} \\ @&\frac{1}{𝔻-j}[\sin{(𝛳x)}]=\frac{1}{𝔻-𝕚𝛳}[\sinh{(𝕚𝛳x)}/𝕚] \\ &=(\frac{x}{2𝕚}+\frac{1}{4𝛳})*\sinh{(𝕚𝛳x)}+(\frac{x}{2𝕚}-\frac{1}{4𝛳})*\cosh{(𝕚𝛳x)} \\ &=(\frac{x}{2}+\frac{𝕚}{4𝛳})*\sin{(𝛳x)}-(\frac{𝕚x}{2}+\frac{1}{4𝛳})*\cos{(𝛳x)} \\ \end{align} $$