01、微分算子

【01】概念

记$𝔻=\frac{𝕕}{𝕕x}, y'=\frac{𝕕}{𝕕x}[y]=𝔻[y], y''=\frac{𝕕^2}{𝕕x^2}[y]=𝔻^2[y]$，依此类推，𝔻叫作微分算子，代表对右边中括号里的函数进行求导函数的运算。

记F(𝔻)为𝔻的多项式，位于方程左边时可以被除到右边去，对于求微分方程的特解计算比较快，如${y''-2y'+y}\Rightarrow{F(𝔻)=(𝔻^2-2𝔻+1)}$。

【02】性质

（01）逆运算：$\frac{1}{𝔻}=𝔻^{-1}$，表示不定积分运算，$\frac{1}{F(𝔻)}=F^{-1}(𝔻)$。

$F^{-1}(𝔻)$也可以是不含𝔻的常数。

（02）交换结合律：$F_1^{-1}(𝔻)F_2^{-1}(𝔻)[f(x)]=F_2^{-1}(𝔻)F_1^{-1}(𝔻)[f(x)]$。

（03）分配律：$F^{-1}(𝔻)[f_1(x)+f_2(x)]=F^{-1}(𝔻)[f_1(x)]+F^{-1}(𝔻)[f_2(x)]$。

（04）等比级数：$(1-𝔻)^{-1}=1+𝔻+𝔻^2+𝔻^3+𝔻^4+𝔻^5+\cdots$。

$F(𝔻)=𝔻-𝒌$，$F^{-1}(𝔻)[x^𝒍]={\large(-\frac{1}{𝒌}-\frac{𝔻}{𝒌^2}-\cdots-\frac{𝔻^𝒍}{k^{𝒍+1}})}x^𝒍$。

$F(𝔻)=𝔻+𝒌$，$F^{-1}(𝔻)[x^𝒍]={\large(\frac{1}{𝒌}-\frac{𝔻}{𝒌^2}+\cdots+\frac{(-1)^𝒍𝔻^𝒍}{𝒌^{𝒍+1}})}x^𝒍$。

𝒌可以是虚数，𝒍为正整数，(𝒍+1)及更高阶算子作用于$\mathtt{x^𝒍}$结果均为0。

（05）$𝕖^{𝜆x}$是$𝔻$的特征函数，$𝔻[𝕖^{𝜆x}]=𝜆𝕖^{λx}$，于是有，

$F(𝔻)[𝕖^{𝜆x}]=𝕖^{𝜆x}*F(𝜆)$；$F^{-1}(𝔻)[𝕖^{𝜆x}]=𝕖^{𝜆x}/F(𝜆)$，$F(𝜆)\neq0$。

$F(𝜆)=0$时考虑使用$U(x)=1$时的移位定理。

（06）移位定理，来自拉普拉斯变换，

$F^{-1}(𝔻)[𝕖^{𝜆x}U(x)]=𝕖^{𝜆x}F^{-1}(𝔻+𝜆)[U(x)]$。

【03】

由于正余弦函数可以通过欧拉公式与指数函数关联，当方程右边出现正余弦函数时，一种可行的解法是先作替换：$\cos{𝜃x},\sin{𝜃x}⇢𝕖^{𝕚𝜃x}$，算完微分算子的结果{Real}+𝕚{Imaginary}中：实部{Real}作为$\cos{𝜃x}$处的结果；虚部{Imaginary}作为$\sin{𝜃x}$处的结果。

篇幅有限，利用微分算子求微分方程特解可见👉下一篇。

02、直接积分法

【01】形如$𝔻^𝒏[y]=f(x)$，直接积分，结果中应包含𝒏个待定常数。

【02】变量可分离的，形如$g(y)𝕕y=f(x)𝕕x$，直接积分。

【03】可化为形如$\large\frac{𝕕y}{𝕕x}=\underline{u}(\frac{y}{x})$的，令$u=y/x$，$y=ux,\large\frac{𝕕y}{𝕕x}=u+\frac{x𝕕u}{𝕕x}$。

03、特殊的可降阶微分方程

【01】形如$y''=\underline{v}(x,y')$，令$v=y'$，$y''=\large\frac{𝕕v}{𝕕x}$，
常见于牛顿第二运动定律中，加速度与速度、时间的方程。

【02】形如$y''=\underline{v}(y,y')$，令$v=y'$，$y''=\large\frac{𝕕v}{𝕕x}=\frac{𝕕v}{𝕕y}*\frac{𝕕y}{𝕕x}=\frac{v𝕕v}{𝕕y}$，
常见于牛顿第二运动定律中，加速度与速度、位移的方程。

04、线性微分方程

【01】一阶线性微分方程，

对于方程$y'+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x),Q(x)$是已知函数，

两边同乘$\exp\{\int{P(x)}𝕕x\}$，变形为$(y*\exp\{\int{P(x)}𝕕x\})'=Q(x)*\exp\{\int{P(x)}𝕕x\}$，

易得通用解公式为$y=\exp\{-\int{P(x)}𝕕x\}\Big(𝓒+\int{Q(x)}\exp\{\int{P(x)}𝕕x\}\Big)$。

【02】二阶常系数线性微分方程，

按照惯例，先解对应齐次方程，对于方程$y''+py'+qy=0$，其中$p,q$是常数，

当然也可以写作$(𝔻^2+p𝔻+q)[y]=f(x)$，对应特征方程$𝜆^2+p𝜆+q=0$，

（01）特征方程有两个不同实数解𝐚|𝐛，通解为$y^+=𝓒_1𝕖^{ax}+𝓒_2𝕖^{bx}$；
（02）特征方程有两个相同实数解𝛌，通解为$y^+=(𝓒_1+𝓒_2x)𝕖^{𝜆x}$；
（03）特征方程有一对共轭复数解𝛂$\pm$𝕚𝛃，通解为$y^+=𝕖^{𝛼x}(𝓒_1\cos{𝛽x}+𝓒_2\sin{𝛽x})$；
$𝓒_1$、$𝓒_2$为任意常数，由$y|_{x=0}$、$y'|_{x=0}$确定。

$$ \begin{align} &\texttt{鉴于指数函数$𝕖^{𝜆x}$是微分算子𝔻的特征函数，只有其能在求导后维持形态不变，} \\ &\texttt{因而是常系数线性微分方程解的基，像欧拉微分方程解的基就是幂函数。} \\ &\texttt{特征方程有两个不同实数解𝐚|𝐛，$y^+$理应满足$(𝔻-a)y^+=0$或$(𝔻-b)y^+=0$，} \\ &\texttt{得到两个基$𝕖^{ax},𝕖^{bx}$，它们线性无关，再线性组合一下就是方程的全部通解。} \\ &\texttt{特征方程有一对共轭复数解𝛂$\pm$𝕚𝛃，理论上通解应是}𝓒_3𝕖^{𝛼-𝕚𝛽}+𝓒_4𝕖^{𝛼+𝕚𝛽} \\ &=𝕖^{𝛼x}(𝓒_3(\cos{𝛽x}-𝕚\sin{𝛽x})+𝓒_4(\cos{𝛽x}+𝕚\sin{𝛽x})) \\ &=𝕖^{𝛼x}((𝓒_3+𝓒_4)\cos{𝛽x}+𝕚(-𝓒_3+𝓒_4)\sin{𝛽x}) \\ &\texttt{我们常常见到的是两个实系数$𝓒_1=(𝓒_4+𝓒_3),𝓒_2=𝕚(𝓒_4-𝓒_3)$，} \\ &\texttt{说明$𝓒_3,𝓒_4$本是一对共轭复数。} \\ &\texttt{特征方程有两个相同实数解𝛌，似乎只能得出通解的一个基$𝕖^{𝜆x}$，} \\ &\texttt{假设另一个基为$𝛾(x)$，由$(𝔻-𝜆)[𝛾(x)]=𝕖^{𝜆x}$贡献，这样就能得} \\ &(𝔻-𝜆)(𝔻-𝜆)[𝛾(x)]=(𝔻-𝜆)[𝕖^{𝜆x}]=0\texttt{，可得$𝛾(x)=x𝕖^{𝜆x}$。} \\ &\texttt{事实上对于高阶常系数线性齐次微分方程，出现k重解𝛌时，经过不断的寻找} \\ &(𝔻-𝜆)[𝛾_1(x)]=𝕖^{𝜆x},(𝔻-𝜆)[𝛾_2(x)]=𝛾_1(x),\cdots,(𝔻-𝜆)[𝛾_{k-1}(x)]=𝛾_{k-2}(x), \\ &\texttt{可将对应的基补为k个，由移位定理简单算一下即得} \\ &\{𝛾_1(x),𝛾_2(x),\cdots𝛾_{k-1}(x)\}=\{x𝕖^{𝜆x},x^2𝕖^{𝜆x},\cdots,x^{k-1}𝕖^{𝜆x}\}\text{。} \\ \end{align} $$

关于“齐次”一词的来历，$F(tx_1,tx_2,\cdots,tx_n)=t^kF(x_1,x_2,\cdots,x_n)$叫k次齐次函数，那么当线性微分方程右边≡0时，才能满足$F(y,y',y'',\cdots)$为1次齐次函数。

再求一个特解，只有方程右边为两种形式才好解，更推荐微分算子法👉下一篇，待定系数法的套路如下，

（01）指数函数与𝒍次多项式相乘型，$𝕖^{𝜏x}Q^𝒍(x)$，
特解形式为$y^*=x^k𝕖^{𝜏x}R^𝒍(x)$，$R^𝒍(x)$也是l次多项式，$k=\{0,1,2\}$是指𝕖上面的𝛕与两实特征值𝛌相等的次数。

（02）附加三角函数型，$𝕖^{𝜏x}(P_1^𝒎(x)\cos(𝜃x)+P_2^𝒏(x)\sin(𝜃x))$，
特解形式为$y^*=x^k𝕖^{𝜏x}(R_1^𝒍(x)\cos(𝜃x)+R_2^𝒍(x)\sin(𝜃x))$，𝒍是𝒎、𝒏中的较大者，$k=\{0,1\}$是指𝛕+𝕚𝛉与虚特征值𝛂+𝕚𝛃相等的次数。

05、特殊的变系数微分方程

【01】伯努利微分方程
以瑞士数学家雅各布·伯努利命名，具有已知精确解的一阶非线性微分方程。

形如$y'+P(x)y=Q(x)y^𝒎,𝒎\neq{0,1}$，其中$P(x),Q(x)$是$x$的多项式，

两边同除$y^𝒎$，变形为$\frac{1}{1-𝒎}(y^{1-𝒎})'+P(x)y^{1-𝒎}=Q(x)$，
令$w=y^{1-𝒎}$，化为一阶线性微分方程$w'+(1-𝒎)P(x)w=(1-𝒎)Q(x)$。

【02】欧拉微分方程
以瑞士数学家莱昂哈德·欧拉命名，属于无黏性流体动力学中最重要的基本方程。

形如$x^𝒏y'^{(𝒏)}+p_1x^{𝒏-1}y'^{(𝒏-1)}+\cdots+p_{𝒏-1}xy'+p_𝒏y=Q(x)$，其中$p_1,p_2,\cdots,p_𝒏$是常数，$Q(x)$是$x$的多项式，

令$x=𝕖^t$，${\large\frac{𝕕y}{𝕕x}}={\large\frac{𝕕y}{𝕕t}}*{\large\frac{𝕕t}{𝕕x}}={\large\frac{1}{x}}*{\large\frac{𝕕y}{𝕕t}}$，${\large\frac{𝕕^2y}{𝕕x^2}}={\large\frac{1}{x^2}}*\big({\large\frac{𝕕^2y}{𝕕t^2}-\frac{𝕕y}{𝕕t}}\big)$，
若记对t的求导为微分算子$𝔻=\textcolor{green}{\frac{𝕕y}{𝕕t}}$，则有$xy'=𝔻[y],x^2y''=𝔻(𝔻-1)[y],\cdots,x^𝒏y'^{(𝒏)}=𝔻(𝔻-1)···(𝔻-𝒏+1)[y]$，

代入即可得y关于t的常系数线性微分方程，解出来再用$t=\ln{x}$反代。