01、级数收敛

【01】无穷级数本质上是一个数

那么多项相加是一个数，要么是个确定值，要么是无穷大，要么不存在，要么随另一个变量而变化。

【02】级数收敛的定义

对于一般项为$u_n$的级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$，若其部分和的数列存在极限，即$\{S_n=(u_1+u_2+\cdots+u_n)\}$，$\lim_{n\to\infty}S_n$存在，则称该级数收敛。

【03】常数项级数收敛的一些性质

❶满足线性运算，即相加，数乘。

❷收敛+收敛=收敛，收敛+发散=发散，发散+发散=不确定。

❸收敛级数不改变次序地随意给相邻的几项添加括号，新级数仍收敛。

并且只要添加括号后的级数发散就能得原来的级数发散。
若一般项趋于0，又相继两项添加括号后的新级数收敛，则旧级数收敛。

❹添加或去掉级数中的有限项，不改变级数的敛散性。

【04】绝对收敛与条件收敛

对于一般项是正负交替的，给一般项加上绝对值后：

❶新级数若收敛，则绝对收敛，旧级数必收敛；绝对收敛必收敛！

❷新级数若发散，又旧级数收敛，则条件收敛；

条件收敛的全部正项构成的级数一定发散，全部负项也是。

若$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$条件收敛，则$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+|u_n|)/2,\sum_{n=1}^{\infty}(u_n-|u_n|)/2$均发散。

绝对收敛+条件收敛=条件收敛。

02、常见级数的敛散性

【01】几何级数 又叫等比级数

$\sum_{n=0}^{\infty}q^n$，$\begin{cases}|q|<1收敛\\|q|≥1发散\end{cases}$；

【02】P-级数

$\sum_{n=1}^{\infty}\Large\frac{1}{n^p}$，$\begin{cases}p>1收敛\\p\leq1发散\end{cases}$；

【03】Q-级数

$\sum_{n=2}^{\infty}\Large\frac{1}{n^p\ln^q{n}}$，$\begin{cases}p>1收敛\\p=1,q>1收敛\\p=1,q\leq1发散\\p\leq1发散\end{cases}$；

【04】压缩级数

$\sum_{n=1}^{\infty}\Large\frac{1}{n(n+1)}$，$收敛$；

【05】阶乘级数

$\sum_{n=1}^{\infty}\Large\frac{1}{n!}$，$收敛$；

【06】正项调和级数

$\sum_{n=1}^{\infty}\Large\frac{1}{n}$，$发散$；

【07】交错调和级数

$\sum_{n=1}^{\infty}\Large\frac{(-1)^{n-1}}{n}$，$条件收敛$；

【08】

$\sum_{n=1}^{\infty}{\large\frac{1}{n}}-\log{n}≈0.5772$，欧拉-马歇罗尼常数。

$\sum_{n=1}^{\infty}{\large\frac{1}{n^2}}=\frac{𝜋^2}{6}$，欧拉求解巴塞尔问题。

03、级数敛散判断法

❶必要条件：一般项是否趋于0？
若不为0则发散，否则下一步；

❷是否常见的几何级数，P,Q-级数？
不是就下一步；

❸对正项级数，有比较原理和比较原理的极限形式，大收敛推小收敛，小发散推大发散，

斯特林公式，阶乘的替换，$n!≈\sqrt{2𝜋n}(n/𝕖)^n$。
放缩，$\log\log{n}<\log{n}<n,\log{n}<n^k<\exp{n}<n!<n^n$。

❹反常积分判别法，商值判别法，根值判别法；

❺交错级数，添加绝对值是否收敛？若发散则上莱布尼茨判别法；

莱布尼茨判别法：若$u_n\to0$，则交错级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n$收敛，且部分和$S_n$与级数$S$间的误差$\leq{u_{n+1}}$。

❻最后是定义，求部分和序列判断是否有极限。

04、幂级数

对函数项级数一定要先求收敛域，收敛域=收敛区间+端点。

逐项求导后收敛域可能不能包含已有的端点了，逐项积分后收敛域可能可以包含未有端点。
若首项是常数，逐项求一次导后开始序号要+1。

【】泰勒级数和麦克劳林级数

先明确一点：泰勒级数和泰勒公式长得很像，但不是一回事，一个是函数一个是级数，泰勒公式不带收敛域，泰勒级数不带余项。

初等函数的麦克劳林级数，

（01）${\large\sum_{m=0}^{\infty}x^m}={\Large\frac{1}{1-x}},x\in(-1,1)$。

（02）$\exp{x}={\large\sum_{m=0}^{\infty}{\frac{1}{m!}x^m}},x\in(-\infty,+\infty)$

$\hspace{96px}\large=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{24}x^4+\cdots$。

（03）$\log{(1+x)}={\large\sum_{m=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{m-1}}{m}x^m}},x\in(-1,1]$

$\hspace{120px}\large=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+\cdots$。

（04）$-\log{(1-x)}={\large\sum_{m=1}^{\infty}{\frac{1}{m}x^m}},x\in(-1,1]$

$\hspace{120px}\large=x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4+\cdots$。

（05）$\cos{x}={\large\sum_{i=0}^{\infty}{\frac{(-1)^i}{(2i)!}x^{2i}}},x\in(-\infty,+\infty)$

$\hspace{96px}\large=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4-\cdots$。

（06）$\sin{x}={\large\sum_{i=0}^{\infty}{\frac{(-1)^i}{(2i+1)!}x^{2i+1}}},x\in(-\infty,+\infty)$

$\hspace{96px}\large=x-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{120}x^5-\cdots$。

（07）$\cosh{x}={\large\sum_{i=0}^{\infty}{\frac{1}{(2i)!}x^{2i}}},x\in(-\infty,+\infty)$

$\hspace{96px}\large=1+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4+\cdots$。

（08）$\sinh{x}={\large\sum_{i=0}^{\infty}{\frac{1}{(2i+1)!}x^{2i+1}}},x\in(-\infty,+\infty)$

$\hspace{96px}\large=x+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{120}x^5+\cdots$。

cos、sin、cosh、sinh都是缺项级数。

（09）$(1+x)^l={\large\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{l!}{(l-n)!n!}x^n}},x\in(-1,1)$
$\hspace{96px}\large=1+lx+\frac{l(l-1)}{2}x^2+\frac{l(l-1)(l-2)}{6}x^n+\cdots$。

当l为正整数时等同于二项式定理展开且是有限项不需要考虑收敛域，当l=-1时等同于几何级数。

（10）$\arctan{x}={\large\sum_{j=0}^{\infty}{\frac{(-1)^j}{2j+1}x^{2j+1}}},x\in[-1,1]$。