01、级数收敛
【01】无穷级数本质上是一个数
那么多项相加是一个数，要么是个确定值，要么是无穷大，要么不存在，要么随另一个变量而变化。
【02】级数收敛的定义
对于一般项为$u_n$的级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$，若其部分和的数列存在极限，即$\{S_n=(u_1+u_2+\cdots+u_n)\}$，$\lim_{n\to\infty}S_n$存在，则称该级数收敛。
【03】常数项级数收敛的一些性质
❶满足线性运算，即相加，数乘。
❷收敛+收敛=收敛，收敛+发散=发散，发散+发散=不确定。
❸收敛级数不改变次序地随意给相邻的几项添加括号，新级数仍收敛。
并且只要添加括号后的级数发散就能得原来的级数发散。
若一般项趋于0，又相继两项添加括号后的新级数收敛，则旧级数收敛。
❹添加或去掉级数中的有限项，不改变级数的敛散性。
【04】绝对收敛与条件收敛
对于一般项是正负交替的，给一般项加上绝对值后：
❶新级数若收敛，则绝对收敛，旧级数必收敛；绝对收敛必收敛！
❷新级数若发散，又旧级数收敛，则条件收敛；
条件收敛的全部正项构成的级数一定发散，全部负项也是。
若$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$条件收敛，则$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+|u_n|)/2,\sum_{n=1}^{\infty}(u_n-|u_n|)/2$均发散。
绝对收敛+条件收敛=条件收敛。
02、常见级数的敛散性
【01】几何级数 又叫等比级数
$\sum_{n=0}^{\infty}q^n$，$\begin{cases}|q|<1收敛\\|q|>1发散\end{cases}$；
【02】P-级数
$\sum_{n=1}^{\infty}\Large\frac{1}{n^p}$，$\begin{cases}p>1收敛\\p\leq1发散\end{cases}$；
【03】Q-级数
$\sum_{n=2}^{\infty}\Large\frac{1}{n^p\ln^q{n}}$，$\begin{cases}p>1收敛\\p=1,q>1收敛\\p=1,q\leq1发散\\p\leq1发散\end{cases}$；
【04】压缩级数
$\sum_{n=1}^{\infty}\Large\frac{1}{n(n+1)}$，$收敛$；
【05】阶乘级数
$\sum_{n=1}^{\infty}\Large\frac{1}{n!}$，$收敛$；
【06】调和级数
$\sum_{n=1}^{\infty}\Large\frac{1}{n}$，$发散$；
【06】交错调和级数
$\sum_{n=1}^{\infty}\Large\frac{(-1)^{n-1}}{n}$，$条件收敛$；
03、级数敛散判断法
❶必要条件：一般项是否趋于0？
若不为0则发散，否则下一步；
❷是否常见的几何级数，P,Q-级数？
不是就下一步；
❸对正项级数，有比较原理和比较原理的极限形式，大收敛推小收敛，小发散推大发散，
斯特林公式，阶乘的替换，$n!≈\sqrt{2𝜋n}(n/𝕖)^n$。
放缩，$𝕝𝕟𝕝𝕟n<𝕝𝕟n<n,𝕝𝕟n<n^k<𝕖^n<n!<n^n$。
❹反常积分判别法，商值判别法，根值判别法；
❺交错级数，添加绝对值是否收敛？若发散则上莱布尼茨判别法；
莱布尼茨判别法：若$u_n\to0$，则交错级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n$收敛，且部分和$S_n$与级数$S$间的误差$\leq{u_{n+1}}$。
❻最后是定义，求部分和序列判断是否有极限。
04、幂级数
对函数项级数一定要先求收敛域，收敛域=收敛区间+端点。
逐项求导后收敛域可能不能包含已有的端点了，逐项积分后收敛域可能可以包含未有端点。
若首项是常数，逐项求一次导后开始序号要+1。
【】泰勒级数
先明确一点：泰勒级数和泰勒公式长得很像，但不是一回事，一个是函数一个是级数，泰勒公式不带收敛域，泰勒级数不带余项。
常见函数的麦克劳林幂级数展开，
（01）$\exp{x}\large=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}x^n},x\in(-\infty,+\infty)$
$\hspace{96px}\large=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{24}x^4+\cdots$。
（02）$\sin{x}\large=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}},x\in(-\infty,+\infty)$
$\hspace{96px}\large=x-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{120}x^5-\cdots$。
（03）$\cos{x}\large=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}},x\in(-\infty,+\infty)$
$\hspace{96px}\large=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4-\cdots$。
sin、cos都是缺项级数。
（04）$\ln{(1+x)}\large=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n},x\in(-1,1]$
$\hspace{144px}\large=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4+\cdots$。
（05）$(1+x)^l\large=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{l!}{(l-n)!n!}x^n},x\in(-1,1)$
$\hspace{96px}\large=1+lx+\frac{l(l-1)}{2}x^2+\frac{l(l-1)(l-2)}{6}x^n+\cdots$。
当l为正整数时等同于二项式定理展开且是有限项不需要考虑收敛域，当l=-1时等同于几何级数。
（06）补充
$\Large\frac{1}{1-x}\large=\sum_{n=0}^{\infty}x^n,x\in(-1,1)$。
$\arctan{x}\large=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^k}{2k+1}x^{2k+1}},x\in[-1,1]$。
