01、矩阵乘法

【01】矩阵中我们一般以𝐎表示全零矩阵，𝐈表示对角线全1的单位矩阵。

【02】行变换相当于左乘，列变换相当于右乘，左乘行右乘列。

【03】伴随矩阵的某位上的元素不是原本矩阵该位元素代数余子式，还要再转置一下。
伴随矩阵的性质：$𝐌𝐌^*=𝐌^*𝐌=|𝐌|𝐈$，不需要指明𝐌是否可逆，$|𝐌^*|=|𝐌|^{n-1}$。

【04】矩阵右上角的转置$'$、幂方$²$、取逆$⁻¹$、伴随$^*$号均可互相交换。

【05】两个上三角矩阵的乘积仍是上三角矩阵，并且积矩阵的对角线元素为两矩阵对应元素之积。

02、矩阵的秩

【01】$\mathtt{rank(𝐌')=rank(𝐌)}$，行秩=列秩，$\mathtt{rank(c𝐌)=rank(𝐌)},c\neq0$，乘数不改秩。

【02】$\mathtt{{rank(𝐌\pm𝐍)}\leq{rank(𝐌)+rank(𝐍)}}$，相加可能会抵消掉一行或一列。

【03】$\mathtt{rank(𝐌𝐍)\leq\min{(rank(𝐌),rank(𝐍))}}$，相乘不会使秩增大。

【04】𝐌可逆，$\mathtt{rank(𝐌𝐍)=rank(𝐍)}$，行变换不改秩；𝐍可逆，$\mathtt{rank(𝐌𝐍)=rank(𝐌)}$，列变换不改秩。

【05】若𝐌列满秩则$\mathtt{rank(𝐌𝐍)=rank(𝐍)}$；若𝐍行满秩则$\mathtt{rank(𝐌𝐍)=rank(𝐌)}$。

与上一条不同，𝐌或𝐍不是方阵就没有可逆的说法。
𝐌列满秩⇒方程组𝐌𝐍𝑋=0与𝐍𝑋=0同解。

【06】若𝐌𝐍=0，则$\mathtt{rank(𝐌)+rank(𝐍)\leq{l}}$，l为𝐌的列数或𝐍的行数。

𝐌𝐍=0⇒𝐍的列向量都是方程组𝐌𝑋=0的解，于是$\mathtt{rank(𝐌)\leq{l-rank(𝐍)}}$，
当且仅当𝐍的列向量组的极大线性无关组构成𝐌𝑋=0的一个基础解系时取等号。

【07】矩阵满秩⇔方阵可逆⇔行列式不为0⇔齐次方程组只有全零解⇔0不是特征值。

03、行列式

一些特殊形式的行列式的计算。

拉普拉斯公式的特殊情形：

𝐀,𝐁分别是m,n阶方阵，

$$ \begin{vmatrix} 𝐀 & 𝐂 \\ 𝐎 & 𝐁 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 𝐀 & 𝐎 \\ 𝐂 & 𝐁 \\ \end{vmatrix} = |𝐀||𝐁| $$

$$ \begin{vmatrix} 𝐂 & 𝐀 \\ 𝐁 & 𝐎 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 𝐎 & 𝐀 \\ 𝐁 & 𝐂 \\ \end{vmatrix} = (-1)^{mn}|𝐀||𝐁| $$

范德蒙行列式，

对角线型，

$$ \begin{vmatrix} a & b & b & \cdots & b \\ b & a & b & \cdots & b \\ b & b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ b & b & b & \cdots & a \\ \end{vmatrix} =(a+(n-1)b)(a-b)^{n-1} $$